Problema di Algebra e Geometria sul trapezio rettangolo

Buonasera ho diverse difficoltà con un esercizio sui trapezi rettangoli con l'angolo acuto alla base maggiore di 60°.

Determinare l'area di un trapezio rettangolo ABCD il cui perimetro misura 2a(7+ rad3), sapendo che la base minore BC è uguale al lato obliquo CD e che l'angolo ABD è ampio 60° [Il risultato è 10a^2rad(3)].

Mi aiutate anche qui amici? Grazie mille! :-)

In Superiori - Geometria - Domanda di marcolino007

Soluzioni

Ciao Marcolino007, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Ragioniamo in questo modo: prima di tutto, conosciamo il perimetro del trapezio rettangolo

$AB+AD+BC+CD=2a(7+\sqrt{3})$

dove , quindi

$AB+AD+2CD=2a(7+\sqrt{3})$

dobbiamo calcolare l'area, dunque ci servono le misure dell'altezza e delle basi. Cioè tutto!

Osserviamo che il triangolo è isoscele quindi coincidono gli angoli . Non è difficle inoltre vedere che

$ADB=30^{o}$

poichè il triangolo è rettangolo, e inoltre $BCD=CDB=30^{o}$ .

Dato che conosciamo gli angoli del triangolo rettangolo , dalle relazioni notevoli tra i cateti sappiamo che

$AB=\frac{AD}{\sqrt{3}}$

Inoltre per il teorema di Pitagora

$BA^2=CD^2-(AD-BC)^2=CD^2-(AD-CD)^2=-AD^2+2AD\cdot CD$

Mettiamo insieme le ultime due relazioni, trovando

$\frac{AD^2}{3}+AD^2-2AD\cdot CD=0$

$\frac{4AD^2}{3}-2AD\cdot CD=0$

semplificando per

$\frac{4AD}{3}-2\cdot CD=0$

si ricava

$\frac{4AD}{3}=2\cdot CD$

$AD=\frac{3}{2}\cdot CD$

Fin qui torna tutto?

Namasté!

Risposta di Omega
Ehy , scusami non ho capito la frase "Osserviamo che il triangolo $BCD$ quindi coincidono gli angoli $BCD=CDB$ . " manca qualche parola ?

Risposta di marcolino007
...è isoscele...

Risposta di Omega