Problema di Algebra e Geometria sul trapezio rettangolo

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Buonasera ho diverse difficoltà con un esercizio sui trapezi rettangoli con l'angolo acuto alla base maggiore di 60°.

 

Determinare l'area di un trapezio rettangolo ABCD il cui perimetro misura 2a(7+ rad3), sapendo che la base minore BC è uguale al lato obliquo CD e che l'angolo ABD è ampio 60° [Il risultato è 10a^2rad(3)].

 

Mi aiutate anche qui amici? Grazie mille! :-)

Domanda di marcolino007

 
Soluzioni

  • Ciao Marcolino007, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ragioniamo in questo modo: prima di tutto, conosciamo il perimetro del trapezio rettangolo

    AB+AD+BC+CD=2a(7+\sqrt{3})

    dove CB=CD, quindi

    AB+AD+2CD=2a(7+\sqrt{3})

    dobbiamo calcolare l'area, dunque ci servono le misure dell'altezza e delle basi. Cioè tutto! Sealed

    Osserviamo che il triangolo BCD è isoscele quindi coincidono gli angoli BCD=CDB. Non è difficle inoltre vedere che 

    ADB=30^{o}

    poichè il triangolo ABD è rettangolo, e inoltre BCD=CDB=30^{o}.

    Dato che conosciamo gli angoli del triangolo rettangolo ABD, dalle relazioni notevoli tra i cateti sappiamo che

    AB=\frac{AD}{\sqrt{3}}

    Inoltre per il teorema di Pitagora

    BA^2=CD^2-(AD-BC)^2=CD^2-(AD-CD)^2=-AD^2+2AD\cdot CD

    Mettiamo insieme le ultime due relazioni, trovando

    \frac{AD^2}{3}+AD^2-2AD\cdot CD=0

    \frac{4AD^2}{3}-2AD\cdot CD=0

    semplificando per AD

    \frac{4AD}{3}-2\cdot CD=0

    si ricava

    \frac{4AD}{3}=2\cdot CD

    AD=\frac{3}{2}\cdot CD

    Fin qui torna tutto?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Scusami, non ho capito la frase:

    "Osserviamo che il triangolo BCD quindi coincidono gli angoli BCD=CDB."

    Manca qualche parola?

    Risposta di marcolino007

  • ...è isoscele...Laughing

    Risposta di Omega
 
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