Soluzioni
  • Consideriamo la funzione definita a tratti

    f(x)=\begin{cases}x^2&\mbox{se} \ x\le 3 \\ kx&\mbox{se} \ k>3\end{cases}

    dobbiamo determinare, se esistono, i valori reali k che rendono f(x) una funzione continua nel suo dominio.

    I due rami della funzione sono entrambi funzioni continue sui rispettivi sotto-domini, sono infatti entrambi funzioni polinomiali e più precisamente:

    \bullet \ \ \ y=x^2 è una funzione quadratica il cui grafico è una parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate;

    \bullet \ \ \  y=kx, al variare di k\in\mathbb{R}, rappresenta un fascio propri di rette con centro nell'origine.

    L'unico punto su cui non abbiamo certezza della continuità è il punto di raccordo x_0=3, ossia il punto in cui f(x) cambia la sua espressione analitica. Per studiare la continuità di f(x) facciamo riferimento alla nozione di continuità in un punto: i due limite destro e limite sinistro per x\to3 devono coincidere con la valutazione della funzione nel punto x_0=3.

    Calcoliamo i due limiti, facendo attenzione a scegliere la giusta espressione analitica per f(x).

    Il limite sinistro vale 9, infatti nell'intorno sinistro di 3, la funzione f(x) coincide con x^2

    \lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{-}}x^2=9

    Il limite destro vale 3k, infatti nell'intorno destro di 3, la funzione f(x) coincide con kx

    \lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}kx=3k

    Determiniamo, infine, la valutazione della funzione nel punto x_{0}=3:

    f(x_0)=f(3)=3^2=9

    Per definizione di continuità in un punto devono sussistere le uguaglianze

    \lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}f(x)=f(x_0)

    ossia

    9=3k=9\implies 3k=9\implies k=3

    Concludiamo quindi che f(x) è una funzione continua nel punto x_0=3, e quindi su tutto l'asse reale, se e solo se k=3.

    Risposta di Ifrit
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