Soluzioni
  • Ciao Taylor arrivo, mi devi dare un po' di tempo però :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo i polinomi:

    p_1(t)= t^2+t

    p_2(t)=2t^2+3t+1

    p_3(t)= -t^2+2

    Per verificare che B={p_1, p_2, p_3} è una base di \mathbb{R}_2[t],

    dobbiamo associare a ciascun polinomio, le sue componenti rispetto alla base canonica B=\{t^2, t, 1\}

    Otterremo i tre vettori di \mathbb{R}^3 associato a ciascun polinomio:

    A p_1 associamo v_1= (1, 1, 0)

    A p_2 associamo v_2= (2, 3,1)

    A p_3 associamo v_3= (-1, 0, 2)

    Ora costruiamo una matrice M, avente per colonne i vettori v_1, v_2, v_3

    Se il rango della matrice è massimo allora siamo a posto, B è (una) base.

    M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 1&3&0\\0&1&2\end{pmatrix}

    Riduci a scala ed otterrai il rango della matrice M, ed è 3, quindi B è una base dello spazio vettoriale \mathbb{R}_2[t]

     

    Lo stesso identico discorso deve essere ripetuto per l'altra famiglia di polinomi:

    q_1(t)=-t^2

    q_2(t)=-2t^2-t-2

    q_3(t)=t^2+t

     

    A q_1 associamo il vettore w_1= (-1, 0, 0)

    A q_2 associamo il vettore w_2= (-2,-1, -2)

    A q_2 associamo il vettore w_3= (1,1, 0)

     

    Consideriamo la matrice N avente per colonne i vettori scritti in precedenza:

    N=\begin{pmatrix}-1&-2&1\\ 0&-1&1\\0&-2&0\end{pmatrix}

    Riducendo a scala otterremo che il rango della matrice N è 3 quindi anche C=\{q_1, q_2,q_3\} è una base dello spazio vettoriale in questione. :)

    _____________________________________

    Per determinare M^B_C, la matrice del cambiamento di base è necessario costruire una matrice appunto che ha per vettori colonna le coordinate dei vettori della base B rispetto ai vettori della base C:

     

    In pratica devi scrivere p_1 come combinazione lineare dei vettori della base C

    così come p_2 e p_3

    p_1(t)= \alpha q_1(t)+\beta q_2(t)+\gamma q_3(t)

    t^2+t= (\alpha-2\beta +\gamma)t^2+(-\beta+\gamma)t+2\gamma

    Utilizzando il principio di identità dei polinomi otterrai:

    \begin{cases}\alpha-2\beta +\gamma=1\\ -\beta+\gamma=1\\ 2\gamma=0\end{cases}

    Da cui:

    \gamma=0, \beta=-1\alpha =-1

    Quindi la prima colonna della matrice di cambiamento di base sarà:

    \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}

    e così via per le altre componenti

    p_2(t)= \alpha q_1(t)+\beta q_2(t)+\gamma q_3(t)

    2t^2+3t+1= (\alpha-2\beta +\gamma)t^2+(-\beta+\gamma)t+2\gamma

    Utilizzando il principio di identità dei polinomi otterrai:

    \begin{cases}\alpha-2\beta +\gamma=2\\ -\beta+\gamma=3\\ 2\gamma=1\end{cases}

    Otterrai la soluzione:

    \begin{pmatrix}-\frac{13}{2}\\ -\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}

    Questa sarà la seconda colonna della matrice di cambiamento di base

     

    p_3(t)= \alpha q_1(t)+\beta q_2(t)+\gamma q_3(t)

    t^2+t= (\alpha-2\beta +\gamma)t^2+(-\beta+\gamma)t+2\gamma

    Utilizzando il principio di identità dei polinomi otterrai:

    \begin{cases}\alpha-2\beta +\gamma=1\\ -\beta+\gamma=1\\ 2\gamma=0\end{cases}

    Otterrai la soluzione:

    \begin{pmatrix}3\\ -1\\ 0\end{pmatrix}

    Questa sarà la seconda colonna della matrice di cambiamento di base

     

    La matrice di cambiamento di base è quindi:

    M=\begin{pmatrix}-1&-\frac{13}{2}& 3\\ -1&-\frac{5}{2}& -1\\ 0&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}

     

    Ti consiglio di dare un'occhiata alla lezione sulla matrice del cambiamento di base ;)

    Risposta di Ifrit
  • Scusate  ho fatto un disastro volevo votare pollice in su ed ho sbagliato  tasto EmbarassedEmbarassed. Volevo invece ringraziarvi tantissimo per l'esauriente risposta . Scusate ancora ! (non ne faccio una giusta Frown )

    Risposta di Taylor
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