Calcolare la matrice del cambiamento di base

Sono in seria difficoltà con un esercizio di Algebra Lineare sulla matrice di cambiamento di base nello spazio dei polinomi. Date due basi di , entrambe non canoniche, devo calcolare la matrice di passaggio dall'una all'altra base, ma non so neanche da dove partire.

Dati i seguenti polinomi di :

p_1(x) = x+x^2 ; p_2(x) = 1+3x+2x^2 ; p_3(x) = 2-x^2 ; q_1(x) = -x^2 ; q_2(x) = -2-x-2x^2 ; q_3(x) = x+x^2

è noto che e sono basi di .

Calcolare la matrice di passaggio da a .

Domanda di Taylor

Soluzioni

Dai dati forniti dalla traccia è noto che
e
sono basi dello spazio vettoriale , e dobbiamo calcolare la matrice di passaggio da a che, a scanso di equivoci, indichiamo con .
Tale matrice è siffatta: la sua -esima colonna ha per elementi le coordinate del polinomio riferite alla base , che altro non sono se non i coefficienti della combinazione lineare con cui si esprime in funzione di e .
Procediamo, allora, al calcolo di queste coordinate.
Coordinate di riferite alla base
Osserviamo che è uguale a per cui, senza fare alcun calcolo, possiamo affermare che
di conseguenza, la prima colonna della matrice di passaggio è
Coordinate di riferite alla base
Le componenti di rispetto alla base sono i coefficienti tali che
ossia
Svolgiamo i prodotti
Scriviamo il polinomio a secondo membro in forma normale ordinandolo secondo le potenze crescenti di
Per il principio di identità dei polinomi, affinché i due polinomi siano uguali dobbiamo richiedere che coincidano i coefficienti dei termini dello stesso grado; deve cioè essere soddisfatto il sistema
Risolviamolo con il metodo di sostituzione.
Ricaviamo dalla prima equazione, sostituiamo nelle altre, e calcoliamo il valore di dalla seconda equazione
Sostituiamo nella terza equazione e ci siamo
La soluzione del sistema è
pertanto
e, di conseguenza, la seconda colonna della matrice di passaggio è
Coordinate di riferite alla base
Oramai dovrebbe essere chiaro che le componenti di riferite a sono gli scalari tali per cui
La forma normale del polinomio a secondo membro l'abbiamo già calcolata, quindi passiamo direttamente all'uguaglianza
che equivale al sistema lineare
La sua soluzione è
dunque la terza e ultima colonna della matrice di cambiamento di base è
Composizione della matrice di cambiamento di base
Abbiamo praticamente finito! La matrice di passaggio da e è
e con questo è tutto!
Risposta di Galois