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  • Ciao Volpi arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • \lim_{n\to \infty} n(\log(n+2)-\log(n))=

    Utilizziamo la proprietà dei logaritmi:

    \log(a)-\log(b)= \log\frac{a}{b}\quad \forall a, b>0

    Avremo

    \lim_{n\to \infty} n\log\left(\frac{n+2}{n}\right)=

    \lim_{n\to \infty} n \log\left(\frac{n}{n}+\frac{2}{n}\right)=

    \lim_{n\to \infty} n\log\left(1+\frac{2}{n}\right)

    Riscriviamo il limite come:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\log\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\frac{1}{n}}

    Poniamo

    \frac{2}{n}=t\implies \frac{1}{n}=\frac{t}{2}

    ed osserviamo che quando n tende a infinito, t tende a 0, quindi il limite di partenza diventa:

    \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{\frac{t}{2}}

    Benissimo ora quel due lo manipoliamo algebricamente e lo portiamo fuori dal limite (è una costante moltiplicativa)

    2\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=2\cdot 1=2

    Ricorda il limite notevole

    \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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