Soluzioni
  • La funzione data è

    f(x)=(1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}

    è di tipo esponenziale. Usando il teorema per la derivata della funzione inversa abbiamo che:

    (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}=\frac{1}{f'(x)}

    Abbiamo quindi bisogno della derivata prima della funzione

    f(x)=(1+\sin(x))^{1+x}

    Esprimiamola sotto forma esponenziale:

    f(x)=e^{(1+x)\ln(1+\sin(x))}

    Deriviamo la funzione f(x) utilizzando il teorema di derivazione della funzione composta.

    \\ f'(x)=e^{(1+x)\ln(1+\sin(x))}\cdot \left[1\cdot \ln(1+\sin(x))+(1+x)\cdot \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\right]=\\ \\ \\=(1+\sin(x))^{1+x}\left[\ln(1+\sin(x))+\frac{(1+x)\cos(x)}{1+\sin(x)}\right]

    Valutiamo la funzione in x=0, così da ottenere

    f'(0)=1

    Pertanto la derivata prima della funzione inversa nel punto 1 è:

    (f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=1

    Questo rappresenta il coefficiente del termine di primo ordine dello sviluppo. Adesso procediamo con il terzo, il cui calcolo richiede la derivata seconda della funzione inversa, che possiamo vedere come la derivata prima della derivata prima, ossia la derivata di

    (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

    La derivata di tale funzione si ottiene utilizzando la regola di derivazione del quoziente in combo con il teorema di derivazione della funzione composta e quello sul calcolo della derivata della funzione inversa

    (f^{-1})''(y)=-\frac{f''(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y)}{[f'(f^{-1}(y))]^2}

    Sappiamo già che

    (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

    sostituiamo così da ottenere:

    (f^{-1})''(y)=-\frac{f''(f^{-1}(y))}{[f'(f^{-1}(y))]^3}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}

    dove

    f''(x)=(1+\sin(x))^2\left(x+x^2+\ln^2(1+\sin(x))+2\cos(x)(1+(1+x)\ln(1+\sin(x)))+

    +\left[\left(1+x\right)^2-\ln^2(1+\sin(x))\right]\sin(x)\right)

    A questo punto abbiamo tutti i termini a disposizione per il calcolo della derivata seconda della funzione inversa:

    (f^{-1})''(1)=\frac{-f''(0)}{[f'(0)]^3}=\frac{-2}{1}=-2

    Pertanto il polinomio di Taylor della funzione inversa centrato in y=1 è:

    \\ T_{2}(y)=f^{-1}(1)+(f^{-1})'(1) (y-1)+\frac{(f^{-1})''(1)}{2}(y-1)^2=\\ \\ \\=0+y-1-\frac{2}{2}(y-1)^2=\\ \\ \\=y-1+(y-1)^2

    Attenzione, in questo caso il resto non va inserito perché la traccia dell'esercizio parla esplicitamente del polinomio di Taylor e non dello sviluppo di Taylor.

    Risposta di Ifrit
 
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