Soluzioni
  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La successione viene assegnata a seconda che si considerino gli indici pari o quelli dispari:

    a_1=\frac{1}{3}

    a_{2k}=\frac{1}{3}a_{2k-1}

    a_{2k+1}=\frac{1}{3}+a_{2k}

    Come facciamo a controllare se la successione a_{n} converge? Se consideriamo

    \left|a_{2k+1}-a_{2k}\right|=\left|\frac{1}{3}+a_{2k}-a_{2k}\right|=\frac{1}{3}

    si deduce che la successione non converge.

    Fin qui ci sono dubbi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Quello che hai usato è un criterio per vedere se una successione converge ?  Perchè non ho capito il tuo ragionamento....

    Risposta di Bartez
  • Hai presente la nozione di successione di Cauchy?

    Risposta di Omega
  • Ah è vero Cauchy .. :)

    Quindi possiamo dire che non converge perchè non è una successione di Cauchy perchè : |a(2k+1)-a(2k)| = 1/3 , e quindi non è 0  ??

    Risposta di Bartez
  • L'idea è quella: precisamente, basta osservare che ogni successione convergente è di Cauchy, quindi la nostra successione è necessariamente non convergente.

    Ora: non è difficile osservare che le due successioni \{a_{2k}\} e \{a_{2k+1}\} sono monotone crescenti in senso stretto (intese come successioni separate), dunque sono due successioni convergenti.

    Di conseguenza, se consideriamo \{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\} con n abbiamo che:

    - l'estremo inferiore è a_{n} se n=2k, mentre è a_{n+1} se n=2k+1. Questo perché gli elementi consecutivi (indice pari-indice dispari) nella successione complessiva sono sempre tali che il termine di indice dispari sia maggiore del termine di indice pari precedente o successivo;

    - l'estremo superiore è il limite della successione ad indici dispari.

    Non credo ne sia richiesto il calcolo esplicito. E' più che altro un simpatico esercizio sui principali teoremi sulle successioni. Ma se servisse...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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