Ciao Bartez, arrivo a risponderti...
La successione viene assegnata a seconda che si considerino gli indici pari o quelli dispari:
Come facciamo a controllare se la successione
converge? Se consideriamo
si deduce che la successione non converge.
Fin qui ci sono dubbi?
Namasté!
Quello che hai usato è un criterio per vedere se una successione converge ? Perchè non ho capito il tuo ragionamento....
Hai presente la nozione di successione di Cauchy?
Ah è vero Cauchy .. :)
Quindi possiamo dire che non converge perchè non è una successione di Cauchy perchè : |a(2k+1)-a(2k)| = 1/3 , e quindi non è 0 ??
L'idea è quella: precisamente, basta osservare che ogni successione convergente è di Cauchy, quindi la nostra successione è necessariamente non convergente.
Ora: non è difficile osservare che le due successioni
e 
sono monotone crescenti in senso stretto (intese come successioni separate), dunque sono due successioni convergenti.Di conseguenza, se consideriamo
con 
abbiamo che:- l'estremo inferiore è
se 
, mentre è 
se 
. Questo perché gli elementi consecutivi (indice pari-indice dispari) nella successione complessiva sono sempre tali che il termine di indice dispari sia maggiore del termine di indice pari precedente o successivo;- l'estremo superiore è il limite della successione ad indici dispari.
Non credo ne sia richiesto il calcolo esplicito. E' più che altro un simpatico esercizio sui principali teoremi sulle successioni. Ma se servisse...
Namasté!
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