Funzione dipendente da un parametro iniettiva, continua, derivabile
Ciao ;) ho una funzione con un parametro e devo stabilire per quali valori essa è iniettiva, continua e derivabile. Mi potreste spiegare come procedere?
Per la funzione dipendente dal parametro a, f(x)=x+a per x>0 ; 2x per x ≤ 0, dire per quali valori di a è iniettiva, per quali è continua, per quali è derivabile.
Grazie!
Ciao MartinaG, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Prima di tutto vorrei conferma che per la funzione (il testo non è molto chiaro)
corretto?
Namasté!
Risposta di Omega
correttissimo!
Risposta di MartinaG
Ok!
Prima di tutto, preoccupiamoci della continuità, e controlliamo per quali valori di 
, se esistono, la funzione è continua. Dobbiamo confrontare i due limiti sinistro e destro per 
e richiedere che coincidano con la valutazione della funzione nel punto
Dunque la funzione è continua se 
.
Per la derivabilità, essendo la continuità condizione necessaria (ma non sufficiente) per la derivabilità, ragioniamo sulla funzione
e per valutare la derivabilità della funzione nel punto 
confrontiamo i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale nel punto :
Quindi la funzione considerata non è derivabile in per alcun valore del parametro (se non è nemmeno continua, di sicuro non è derivabile)
Per quanto riguarda infine l'iniettività, è sufficiente disegnare i due rami della funzione e ricorrere al metodo grafico, di cui parliamo nell'articolo del link.
I due rami della funzione sono semplici da disegnare, in particolare 
è la retta parallela alla bisettrice del primo-terzo quadrante con ordinata all'origine .
Disegnando i due rami, e seguendo il semplicissimo metodo descritto nell'articolo, si trova che la funzione è iniettiva se 
.
Namasté!
Risposta di Omega