Soluzioni
  • Ciao MartinaG, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Prima di tutto vorrei conferma che per la funzione (il testo non è molto chiaro)

    \left\{\begin{matrix}2x& x\leq 0\\ x+a& x>0\end{matrix}

    corretto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • correttissimo!

    Risposta di MartinaG
  • Ok!

    Prima di tutto, preoccupiamoci della continuità, e controlliamo per quali valori di a, se esistono, la funzione è continua. Dobbiamo confrontare i due limiti sinistro e destro per x\to 0^{\pm} e richiedere che coincidano con la valutazione della funzione nel punto

    \lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{-}}{2x}=0

    f(0)=0

    \lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}{x+a}=a

    Dunque la funzione è continua se a=0.

    Per la derivabilità, essendo la continuità condizione necessaria (ma non sufficiente) per la derivabilità, ragioniamo sulla funzione

    \left\{\begin{matrix}2x & x\leq 0\\ x & x>0\end{matrix}

    e per valutare la derivabilità della funzione nel punto x=0 confrontiamo i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale nel punto x=0:

    \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{2h}{h}}=2

    \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{h}{h}}=1

    Quindi la funzione considerata non è derivabile in x=0 per alcun valore del parametro a (se non è nemmeno continua, di sicuro non è derivabile)

    Per quanto riguarda infine l'iniettività, è sufficiente disegnare i due rami della funzione e ricorrere al metodo grafico, di cui parliamo nell'articolo del link.

    I due rami della funzione sono semplici da disegnare, in particolare y=a+x è la retta parallela alla bisettrice del primo-terzo quadrante con ordinata all'origine a.

    Disegnando i due rami, e seguendo il semplicissimo metodo descritto nell'articolo, si trova che la funzione è iniettiva se a\geq 0.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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