Soluzioni
  • Per studiare la continuità della funzione definita a tratti

    f(x)=\begin{cases}2x+1&\mbox{se} \ x\ge 0\\ ax-3&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

    bisogna prima di tutto analizzare la continuità dei due rami sui rispettivi sotto-domini. Il primo ramo, ossia

    f_{1}(x)=2x+1 \ \ \ \mbox{se} \ x\le 0

    è una funzione polinomiale, notoriamente continua sull'intervallo (-\infty, 0]

    Il secondo ramo, ossia

    f_{2}(x)=ax-3 \ \ \ \mbox{se} \ x<0

    è anch'essa una funzione polinomiale ed è continua sull'intervallo (0, +\infty).

    L'unico punto dubbio è dato dal punto di raccordo, ossia il punto in cui avviene il cambio dell'espressione analitica, ossia x_0=0.

    Affinché la funzione f(x) risulti continua in x_0=0 dobbiamo richiedere che i limiti destro e sinistro per x\to0 coincidono con  il valore che la funzione assume in x_0:

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}f(x)=f(0)

    Calcoliamo il limite destro, osservando che nell'intorno destro di 0 la funzione f(x) coincide con f_{1}(x)=2x+1

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}f_{1}(x)=\lim_{x\to0^{+}}(2x+1)=1

    calcoliamo il limite sinistro, nel qual caso prendiamo il secondo ramo della funzione giacché siamo nell'intorno sinistro di 0

    \lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}f_{2}(x)=\lim_{x\to0^{-}}(ax-3)=-3

    e infine valutiamo f(x) in x_0=0

    f(0)=2\cdot 0+1=1

    Si vede quindi che i due rami non possono raccordarsi per alcun valore di a, perché il limite destro e il limite sinistro non possono coincidere, pertanto f(x) non è continua in 0 per alcun valore del parametro a.

    A conti fatti, si evince che x_0=0 è un punto di discontinuità a salto (o di prima specie).

    Risposta di Ifrit
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