Interpretazione e continuita di una funzione estesa

Per studiare la continuità della funzione definita a tratti

bisogna prima di tutto analizzare la continuità dei due rami sui rispettivi sotto-domini. Il primo ramo, ossia

è una funzione polinomiale, notoriamente continua sull'intervallo

Il secondo ramo, ossia

è anch'essa una funzione polinomiale ed è continua sull'intervallo

L'unico punto dubbio è dato dal punto di raccordo, ossia il punto in cui avviene il cambio dell'espressione analitica, ossia

Affinché la funzione risulti continua in dobbiamo richiedere che i limiti destro e sinistro per coincidono con  il valore che la funzione assume in :

Calcoliamo il limite destro, osservando che nell'intorno destro di 0 la funzione coincide con

calcoliamo il limite sinistro, nel qual caso prendiamo il secondo ramo della funzione giacché siamo nell'intorno sinistro di 0

e infine valutiamo in

Si vede quindi che i due rami non possono raccordarsi per alcun valore di , perché il limite destro e il limite sinistro non possono coincidere, pertanto non è continua in 0 per alcun valore del parametro .

A conti fatti, si evince che è un punto di discontinuità a salto (o di prima specie).