Soluzioni
  • Ciao frascatano arrivo ;)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la serie:

    \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n\ln(n)+1}

    E' una serie a segni alterni, utilizzeremo il criterio di Leibnitz, fa al caso nostro.

    Consideriamo la successione

    a_n= \frac{n}{n\log(n)+1}

    essa è

    •positiva ( rapporto di quantita positive)

    •decrescente

    per dimostrarlo considera la funzione reale f(x)= \frac{x}{x\log(x)+1}\quad\forall x>1

    e fai vedere che la derivata prima è sempre negativa in (1, +\infty)

    • Infinitesima

    \lim_{n\to \infty }\frac{n}{n\log(n)+1}=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\left(\log(n)+\frac{1}{n}\right)}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\log(n)+\frac{1}{n}}= 0

    Le tre ipotesi del criterio di Leibnitz sono soddisfatte pertanto la serie converge.

     

     

    Risposta di Ifrit
  • capito, mentre la convergenza assoluta, grazie mille

    Risposta di frascatano
  • capito, mentre la convergenza assoluta, grazie mille

    Risposta di frascatano
  • Sì, un attimo stavo rispondendo ad un' altra domanda xD, siete in tanti qui, e noi solo in due xD xD

    Il tempo di pensarci e arrivo :P

    Risposta di Ifrit
  • Per quanto riguarda la convergenza assoluta dobbiamo studiare la serie:

    \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n\log(n)+1}

    Consideriamo la successione:

    a_n= \frac{n}{n\log(n)+1}

    essa è asintoticamente equivalente a 

    b_n= \frac{1}{\log(n)}

    Per il criterio del confronto asintotico, 

    \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n\log(n)+1}\mbox{ ha lo stesso carattere di } \sum_{n} \frac{1}{\log(n)}

     

    Ma la serie del reciproco dei logaritmi diverge di conseguenza diverge anche la nostra cara serie.

     

    Per verificare che

    \sum_{n}\frac{1}{\log(n)}

    diverge potresti procedere in questo modo:

     

    \log(n)<n \quad\forall="quadforall" n\in="nin" \mathbb{N}_{="mathbb{N}_{" />0}

    pertanto:

    \frac{1}{n}<\frac{1}{\log(n)}

    Da cui:

    \sum_{n}\frac{1}{n}<\sum_{n} \frac{1}{\log(n)}

    Al primo mebro hai una serie armonica divergente, per il criterio del confronto, diverge anche la seconda.

    Risposta di Ifrit
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