Formula di Hermite

La formula di Hermite permette di decomporre l'integrale di una funzione razionale fratta nella differenza di due integrali immediati. Si può applicare solo quando l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il numeratore è un polinomio non nullo di grado zero oppure di grado 1, e il denominatore è un polinomio monico di secondo grado che ammette due radici reali e distinte.

Più esplicitamente la formula di Hermite si può usare per risolvere gli integrali razionali che si presentano nella forma

sotto la condizione che il polinomio a denominatore ammetta due radici reali e distinte, ossia sia tale che il discriminate dell'equazione di secondo grado associata ad esso sia maggiore di zero.

Se indichiamo con le radici del polinomio a denominatore, la formula di Hermite stabilisce che:

Esempio di applicazione della formula di Hermite

Svolgimento: la funzione integranda è il rapporto tra un polinomio di primo grado

e un polinomio di secondo grado monico, ossia con coefficiente direttivo uguale a 1

Per capire se possiamo applicare la formula di Hermite dobbiamo stabilire se ammette due radici reali e distinte.

Consideriamo l'equazione di secondo grado associata

e calcoliamone il discriminante

Poiché il Delta è positivo, il polinomio ammette due zeri reali e distinti

Possiamo allora applicare Hermite, secondo cui

Nel nostro caso il polinomio a numeratore è

per cui

Gli zeri del polinomio a denominatore sono

Possiamo allora sostituire:

Svolgiamo i semplici calcoli algebrici

e portiamo le costanti moltiplicative fuori dagli integrali

Ci siamo così ricondotti a due integrali fondamentali:

Differenza tra la formula di Hermite e il metodo dei fratti semplici

Gli integrali risolvibili con la formula di Hermite si possono calcolare anche con il metodo dei fratti semplici, ma con la formula di Hermite si giunge al risultato molto più velocemente.

Nell'integrazione per fratti semplici bisogna infatti risolvere un sistema lineare costruito grazie al principio di identità dei polinomi.

Per mettere in evidenza le differenze tra i due metodi di integrazione, risolviamo col metodo dei fratti semplici lo stesso integrale calcolato precedentemente con la formula di Hermite.

Svolgimento: fattorizziamo il polinomio a denominatore. Avendone già calcolato gli zeri

usiamo la formula di scomposizione con le equazioni

A ogni fattore associamo il relativo fratto semplice:

• a associamo

• a associamo

Determiniamo le costanti di modo che risulti

Svolgiamo la somma tra frazioni algebriche a secondo membro

Semplifichiamo i denominatori e otteniamo l'uguaglianza

Applichiamo ora il principio di identità dei polinomi uguagliando i coefficienti omonimi, ottenendo il sistema lineare

Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Ricaviamo dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda

Risolviamo la seconda equazione e calcoliamo

Sostituiamo nella prima e abbiamo

La funzione integranda può allora essere espressa nella forma

e quindi

Il risultato a cui siamo giunti è lo stesso: da un lato la formula di Hermite permette di giungere allo stesso risultato svolgendo molti meno calcoli, dall'altro non è sempre applicabile ed è una formula in più da memorizzare.

Per questi motivi la scelta è del tutto libera! Si può scegliere di imparare una nuova formula, e applicarla laddove sia possibile, oppure affidarsi al metodo di integrazione per fratti semplici, che bisogna conoscere sempre e comunque.

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