La formula di Hermite permette di decomporre l'integrale di una funzione razionale fratta nella differenza di due integrali immediati. Si può applicare solo quando l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il numeratore è un polinomio non nullo di grado zero oppure di grado 1, e il denominatore è un polinomio monico di secondo grado che ammette due radici reali e distinte.
Più esplicitamente la formula di Hermite si può usare per risolvere gli integrali razionali che si presentano nella forma
sotto la condizione che il polinomio a denominatore ammetta due radici reali e distinte, ossia sia tale che il discriminate dell'equazione di secondo grado associata ad esso sia maggiore di zero.
Se indichiamo con
le radici del polinomio a denominatore, la formula di Hermite stabilisce che:
Esempio di applicazione della formula di Hermite
Svolgimento: la funzione integranda è il rapporto tra un polinomio di primo grado
e un polinomio di secondo grado monico, ossia con coefficiente direttivo uguale a 1
Per capire se possiamo applicare la formula di Hermite dobbiamo stabilire se
ammette due radici reali e distinte.
Consideriamo l'equazione di secondo grado associata
e calcoliamone il discriminante
Poiché il Delta è positivo, il polinomio ammette due zeri reali e distinti
Possiamo allora applicare Hermite, secondo cui
Nel nostro caso il polinomio a numeratore è
per cui
Gli zeri del polinomio a denominatore
sono
Possiamo allora sostituire:
Svolgiamo i semplici calcoli algebrici
e portiamo le costanti moltiplicative fuori dagli integrali
Ci siamo così ricondotti a due integrali fondamentali:
Differenza tra la formula di Hermite e il metodo dei fratti semplici
Gli integrali risolvibili con la formula di Hermite si possono calcolare anche con il metodo dei fratti semplici, ma con la formula di Hermite si giunge al risultato molto più velocemente.
Nell'integrazione per fratti semplici bisogna infatti risolvere un sistema lineare costruito grazie al principio di identità dei polinomi.
Per mettere in evidenza le differenze tra i due metodi di integrazione, risolviamo col metodo dei fratti semplici lo stesso integrale calcolato precedentemente con la formula di Hermite.
Svolgimento: fattorizziamo il polinomio a denominatore. Avendone già calcolato gli zeri
usiamo la formula di scomposizione con le equazioni
A ogni fattore associamo il relativo fratto semplice:
• a
associamo
• a
associamo
Determiniamo le costanti
di modo che risulti
Svolgiamo la somma tra frazioni algebriche a secondo membro
Semplifichiamo i denominatori e otteniamo l'uguaglianza
Applichiamo ora il principio di identità dei polinomi uguagliando i coefficienti omonimi, ottenendo il sistema lineare
Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Ricaviamo
dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda
Risolviamo la seconda equazione e calcoliamo
Sostituiamo nella prima e abbiamo
La funzione integranda può allora essere espressa nella forma
e quindi
Il risultato a cui siamo giunti è lo stesso: da un lato la formula di Hermite permette di giungere allo stesso risultato svolgendo molti meno calcoli, dall'altro non è sempre applicabile ed è una formula in più da memorizzare.
Per questi motivi la scelta è del tutto libera! Si può scegliere di imparare una nuova formula, e applicarla laddove sia possibile, oppure affidarsi al metodo di integrazione per fratti semplici, che bisogna conoscere sempre e comunque.
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