Soluzioni
  • La formula di Hermite permette di decomporre l'integrale di una funzione razionale fratta nella differenza di due integrali immediati. Si può applicare solo quando l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il numeratore è un polinomio non nullo di grado zero oppure di grado 1, e il denominatore è un polinomio monico di secondo grado che ammette due radici reali e distinte.

    Più esplicitamente la formula di Hermite si può usare per risolvere gli integrali razionali che si presentano nella forma

    ∫ (Ax+B)/(x^2+Cx+D) dx

    sotto la condizione che il polinomio a denominatore ammetta due radici reali e distinte, ossia sia tale che il discriminate dell'equazione di secondo grado associata ad esso sia maggiore di zero.

    Se indichiamo con x_1,x_2 le radici del polinomio a denominatore, la formula di Hermite stabilisce che:

    ∫ (Ax+B)/(x^2+Cx+D) dx = ∫ (A x_1+B)/((x_1-x_2)(x-x_1)) dx-∫ (A x_2+B)/((x_1-x_2)(x-x_2)) dx

    Esempio di applicazione della formula di Hermite

    ∫ (2x+1)/(x^2-5x+6)dx

    Svolgimento: la funzione integranda è il rapporto tra un polinomio di primo grado

    p(x) = 2x+1

    e un polinomio di secondo grado monico, ossia con coefficiente direttivo uguale a 1

    q(x) = x^2-5x+6

    Per capire se possiamo applicare la formula di Hermite dobbiamo stabilire se q(x) ammette due radici reali e distinte.

    Consideriamo l'equazione di secondo grado associata

    x^2-5x+6 = 0

    e calcoliamone il discriminante

    Δ = (-5)^2-4·1·6 = 25-24 = 1

    Poiché il Delta è positivo, il polinomio ammette due zeri reali e distinti

    x_1 = 2 ; x_2 = 3

    Possiamo allora applicare Hermite, secondo cui

    ∫ (Ax+B)/(x^2+Cx+D) dx = ∫ (A x_1+B)/((x_1-x_2)(x-x_1)) dx-∫ (A x_2+B)/((x_1-x_2)(x-x_2)) dx

    Nel nostro caso il polinomio a numeratore è

    Ax+B = 2x+1

    per cui

    A = 2 ; B = 1

    Gli zeri del polinomio a denominatore x_1, x_2 sono

    x_1 = 2 ; x_2 = 3

    Possiamo allora sostituire:

    ∫ (2x+1)/(x^2-5x+6) dx = ∫ (2·2+1)/((2-3)(x-2)) dx-∫ (2·3+1)/((2-3)(x-3)) dx =

    Svolgiamo i semplici calcoli algebrici

    = ∫ (5)/(-1·(x-2)) dx-∫ (7)/(-1·(x-3)) dx =

    e portiamo le costanti moltiplicative fuori dagli integrali

    = -5 ∫ (1)/(x-2) dx+7 ∫ (1)/(x-3) dx =

    Ci siamo così ricondotti a due integrali fondamentali:

    = -5 log|x-2|+7log|x-3|+c

    Differenza tra la formula di Hermite e il metodo dei fratti semplici

    Gli integrali risolvibili con la formula di Hermite si possono calcolare anche con il metodo dei fratti semplici, ma con la formula di Hermite si giunge al risultato molto più velocemente.

    Nell'integrazione per fratti semplici bisogna infatti risolvere un sistema lineare costruito grazie al principio di identità dei polinomi.

    Per mettere in evidenza le differenze tra i due metodi di integrazione, risolviamo col metodo dei fratti semplici lo stesso integrale calcolato precedentemente con la formula di Hermite.

    ∫ (2x+1)/(x^2-5x+6)dx

    Svolgimento: fattorizziamo il polinomio a denominatore. Avendone già calcolato gli zeri

    x_1 = 2 ; x_2 = 3

    usiamo la formula di scomposizione con le equazioni

    x^2-5x+6 = (x-x_1)(x-x_2) = (x-2)(x-3)

    A ogni fattore associamo il relativo fratto semplice:

    • a x-2 associamo (A)/(x-2)

    • a x-3 associamo (B)/(x-3)

    Determiniamo le costanti A,B di modo che risulti

    (2x+1)/(x^2-5x+6) = (A)/(x-2)+(B)/(x-3)

    Svolgiamo la somma tra frazioni algebriche a secondo membro

     (2x+1)/(x^2-5x+6) = (A(x-3)+B(x-2))/((x-2)(x-3)) ; (2x+1)/(x^2-5x+6) = ((A+B)x+(-3A-2B))/((x-2)(x-3))

    Semplifichiamo i denominatori e otteniamo l'uguaglianza

    2x+1 = (A+B)x+(-3A-2B)

    Applichiamo ora il principio di identità dei polinomi uguagliando i coefficienti omonimi, ottenendo il sistema lineare

    A+B = 2 ;-3A-2B = 1

    Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Ricaviamo A dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda

    A = 2-B ;-3(2-B)-2B = 1

    Risolviamo la seconda equazione e calcoliamo B

    A = 2-B ; B = 7

    Sostituiamo nella prima e abbiamo

    A = -5 ; B = 7

    La funzione integranda può allora essere espressa nella forma

     (2x+1)/(x^2-5x+6) = (A)/(x-2)+(B)/(x-3) = (-5)/(x-2)+(7)/(x-3)

    e quindi

     ∫ (2x+1)/(x^2-5x+6)dx = ∫ (-5)/(x-2) dx-∫ (7)/(x-3) dx = -5 ∫ (1)/(x-2) dx+7 ∫ (1)/(x-3) dx = -5 log|x-2|+7log|x-3|+c

    Il risultato a cui siamo giunti è lo stesso: da un lato la formula di Hermite permette di giungere allo stesso risultato svolgendo molti meno calcoli, dall'altro non è sempre applicabile ed è una formula in più da memorizzare.

    Per questi motivi la scelta è del tutto libera! Si può scegliere di imparare una nuova formula, e applicarla laddove sia possibile, oppure affidarsi al metodo di integrazione per fratti semplici, che bisogna conoscere sempre e comunque.

    ***

    Per un ripasso di tutti i metodi di integrazione ti rimandiamo alle lezioni dedicate agli integrali - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica