Soluzioni
  • Le matrici rappresentative del sistema lineare parametrico

    \begin{cases}x-z=0 \\ 2x-y-3z=1 \\ x+3y+4z=-1 \\ ax+(b-1)y+2az=a-2\end{cases}

    sono

    \\ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 4 \\ a & b-1 & 2a\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 0\\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & -1 \\ a & b-1 & 2a & a-2\end{array}\right)

    Per calcolarne i ranghi usiamo il metodo di eliminazione gaussiana e riduciamo (A|\mathbf{b}) in una matrice a gradini.

    Per annullare l'elemento a_{21}=2 sostituiamo la seconda riga con la somma tra prima moltiplicata per -2 e la seconda

    \\ R_2 \ \to \ -2R_1+R_2 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}-2 & 0 & 2 & 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}2 & -1 & -3 & 1\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)

    Per rendere nullo il termine a_{31}=1 sostituiamo la terza riga con la somma tra l'opposta della prima e la terza

    \\ R_3 \ \to \ -R_1+R_3 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 4 & -1\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 3 & 5 & -1\end{array}\right)

    Per far sì che si annulli l'elemento a_{41}=a effettuiamo la sostituzione

    \\ R_4 \ \to \ -aR_1+R_4 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}-a & 0 & a & 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}a & b-1 & 2a & a-2\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & b-1 & 3a & a-2\end{array}\right)

    La matrice che ne risulta è

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & b-1 & 3a & a-2\end{array}\right)

    Proseguiamo la riduzione a scala annullando gli elementi a'_{32}=3 e a'_{42}=b-1. A tal proposito procediamo con le sostituzioni

    \\ R_3 \ \to \ 3R_2+R_3 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & -3 & -3 & 3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 3 & 5 & -1\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 2 & 2\end{array}\right) \\ \\ \\ R_4 \ \to \ (b-1)R_2+R_4 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & -b+1 & -b+1 & b-1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}0 & b-1 & 3a & a-2\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 3a-b+1 & a+b-3\end{array}\right)

    e otteniamo la matrice

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3a-b+1 & a+b-3\end{array}\right)

    Per ultimare la riduzione a scala rimpiazziamo la quarta riga con

    R_4 \ \to \ -\frac{1}{2}(3a-b+1)R_3+R_4 = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & -3a+b-1 & -3a+b-1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 3a-b+1 & a+b-3\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & -2a+2b-4\end{array}\right)

    e ricaviamo la matrice a gradini

    (A|\mathbf{b})'''=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2a+2b-4\end{array}\right)

    Eliminandone l'ultima colonna otteniamo anche una riduzione a scala di A:

    A'''=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

    Ricordiamo che il rango di una matrice uguaglia il numero di righe non identicamente nulle della rispettiva matrice ridotta.

    A''' ha tre righe non nulle, per cui il rango di A è 3.

    Per quanto concerne la matrice completa, la sua matrice ridotta ha quattro righe non nulle se -2a+2b-4 \neq 0, che si riducono a tre se -2a+2b-4=0, pertanto:

    \mbox{rk}(A|\mathbf{b})=\begin{cases}3 \ \mbox{ se } \ -2a+2b-4 = 0 \\ 4 \ \mbox{ se } \ -2a+2b-4 \neq 0\end{cases}

    Il teorema di Rouché-Capelli afferma che un sistema è compatibile se e solo se i ranghi delle matrici associate al sistema coincidono, quindi:

    - se -2a+2b-4 \neq 0 il sistema è impossibile, infatti i ranghi delle matrici sono diversi;

    - se -2a+2b-4 = 0 il sistema è compatibile, tant'è vero che i ranghi delle matrici sono uguali; in particolare essendo

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3=\mbox{numero delle incognite}

    il sistema ammette un'unica soluzione.

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Galois
 
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