Compatibilità di un sistema lineare 4x3 con due parametri

Question

Mi è stato assegnato un sistema lineare con due parametri, quattro equazioni e tre incognite e devo studiarne la compatibilità in R. So che devo calcolare i ranghi delle matrici completa e incompleta associate al sistema e stabilire per quali valori dei parametri sono uguali, ma purtroppo mi blocco nei calcoli. Studiare la compatibilità del sistema lineare parametrico che segue, al variare dei valori assunti dai parametri a e b: x-z = 0 ; 2x-y-3z = 1 ; x+3y+4z = -1 ; ax+(b-1)y+2az = a-2

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Le matrici rappresentative del sistema lineare parametrico x-z = 0 ; 2x-y-3z = 1 ; x+3y+4z = -1 ; ax+(b-1)y+2az = a-2 sono ; A = [1 0 -1 ; 2 -1 -3 ; 1 3 4 ; a b-1 2a] ; (A|b) = (beginarrayccc|c1 0 -1 0 ; 2 -1 -3 1 ; 1 3 4 -1 ; a b-1 2a a-2 endarray) Per calcolarne i ranghi usiamo il metodo di eliminazione gaussiana e riduciamo (A|b) in una matrice a gradini. Per annullare l'elemento a_(21) = 2 sostituiamo la seconda riga con la somma tra prima moltiplicata per-2 e la seconda ; R_2 → -2R_1+R_2 = (beginarrayccc|c-2 0 2 0 endarray)+(beginarrayccc|c2 -1 -3 1 endarray) = (beginarrayccc|c0 -1 -1 1 endarray) Per rendere nullo il termine a_(31) = 1 sostituiamo la terza riga con la somma tra l'opposta della prima e la terza ; R_3 → -R_1+R_3 = (beginarrayccc|c-1 0 1 0 endarray)+(beginarrayccc|c1 3 4 -1 endarray) = (beginarrayccc|c0 3 5 -1 endarray) Per far sì che si annulli l'elemento a_(41) = a effettuiamo la sostituzione ; R_4 → -aR_1+R_4 = (beginarrayccc|c-a 0 a 0 endarray)+(beginarrayccc|ca b-1 2a a-2 endarray) = (beginarrayccc|c0 b-1 3a a-2 endarray) La matrice che ne risulta è (A|b)' = (beginarrayccc|c1 0 -1 0 ; 0 -1 -1 1 ; 0 3 5 -1 ; 0 b-1 3a a-2 endarray) Proseguiamo la riduzione a scala annullando gli elementi a'_(32) = 3 e a'_(42) = b-1. A tal proposito procediamo con le sostituzioni ; R_3 → 3R_2+R_3 = (beginarrayccc|c0 -3 -3 3 endarray)+(beginarrayccc|c0 3 5 -1 endarray) = (beginarrayccc|c0 0 2 2 endarray) ; R_4 → (b-1)R_2+R_4 = (beginarrayccc|c0 -b+1 -b+1 b-1 endarray)+(beginarrayccc|c0 b-1 3a a-2 endarray) = (beginarrayccc|c0 0 3a-b+1 a+b-3 endarray) e otteniamo la matrice (A|b)'' = (beginarrayccc|c1 0 -1 0 ; 0 -1 -1 1 ; 0 0 2 2 ; 0 0 3a-b+1 a+b-3 endarray) Per ultimare la riduzione a scala rimpiazziamo la quarta riga con R_4 → -(1)/(2)(3a-b+1)R_3+R_4 = (beginarrayccc|c0 0 -3a+b-1 -3a+b-1 endarray)+(beginarrayccc|c0 0 3a-b+1 a+b-3 endarray) = (beginarrayccc|c0 0 0 -2a+2b-4 endarray) e ricaviamo la matrice a gradini (A|b)''' = (beginarrayccc|c1 0 -1 0 ; 0 -1 -1 1 ; 0 0 2 2 ; 0 0 0 -2a+2b-4 endarray) Eliminandone l'ultima colonna otteniamo anche una riduzione a scala di A: A''' = [1 0 -1 ; 0 -1 -1 ; 0 0 2 ; 0 0 0] Ricordiamo che il rango di una matrice uguaglia il numero di righe non identicamente nulle della rispettiva matrice ridotta. A''' ha tre righe non nulle, per cui il rango di A è 3. Per quanto concerne la matrice completa, la sua matrice ridotta ha quattro righe non nulle se-2a+2b-4 ≠ 0, che si riducono a tre se-2a+2b-4 = 0, pertanto: rk(A|b) = 3 se -2a+2b-4 = 0 ; 4 se -2a+2b-4 ≠ 0 Il teorema di Rouché-Capelli afferma che un sistema è compatibile se e solo se i ranghi delle matrici associate al sistema coincidono, quindi:-se-2a+2b-4 ≠ 0 il sistema è impossibile, infatti i ranghi delle matrici sono diversi;-se-2a+2b-4 = 0 il sistema è compatibile, tant'è vero che i ranghi delle matrici sono uguali; in particolare essendo rk(A) = rk(A|b) = 3 = numero delle incognite il sistema ammette un'unica soluzione. Abbiamo concluso!