Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione nell'incognita complessa z

    (z+i)^2=(\sqrt{3}+i)^3

    conviene innanzitutto espandere il cubo del numero complesso presente al secondo membro. Possiamo calcolare la potenza (\sqrt{3}+i)^{3} in due modi, starà a noi scegliere il metodo che preferiamo.

    Metodo 1

    Il primo metodo è di tipo puramente algebrico e consiste nell'utilizzare la regola sul cubo di binomio e usufruire delle regole sul calcolo delle potenze dell'unità immaginaria:

    \\ (\sqrt{3}+i)^{3}=(\sqrt{3})^{3}+3(\sqrt{3})^2\cdot i+3\sqrt{3}\cdot i^2+i^3= \\ \\ \\ =3\sqrt{3}+3\cdot 3i-3\sqrt{3}-i=9i-i=8i

    Metodo 2

    Il secondo metodo consiste nell'esprimere la base della potenza dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, e in seguito sfruttare la formula di De Moivre.

    Per passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica il numero complesso

    s=\sqrt{3}+i

    è necessario calcolare modulo e argomento di s. Dalla teoria sui numeri complessi sappiamo che il modulo di un numero espresso in forma algebrica si ottiene estraendo la radice quadrata della somma tra il quadrato della sua parte reale e il quadrato della sua parte immaginaria

    |s|=\sqrt{Re(s)^2+Im(s)^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2

    Per quanto concerne l'argomento, scegliamo di lavorare nell'intervallo [0,2\pi) così che possiamo utilizzare la relazione

    Arg(s)=\arctan\left(\frac{Im(s)}{Re(s)}\right)=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}

    dove \arctan(\cdot) indica la funzione arcotangente.

    In definitiva la forma trigonometrica di s è

    s=|s|\left[\cos(Arg(s))+i\sin(Arg(s))\right]=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]

    Grazie alla formula di De Moivre concludiamo pertanto che

    (\sqrt{3}+i)^3=s^3=|s|^3\left[\cos(3Arg(s))+i\sin(3Arg(s))\right]= \\ \\ \\ =8\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=8i

    Entrambi i metodi conducono dunque allo stesso risultato, mediante il quale possiamo esprimere l'equazione di partenza come

    (z+i)^2=8i

    Per risolverla senza troppi patemi d'animo, procediamo mediante la sostituzione w=z+i grazie alla quale l'equazione diviene

    w^2=8i

    In altri termini stiamo cercando le radici quadrate del numero complesso 8i. La procedura per il calcolo delle radici di un numero complesso è noto: si calcolano il modulo e l'argomento del numero di cui si vuole calcolare le radici e in seguito si utilizza una ben precisa formula.

    Abbiamo già calcolato la forma trigonometrica di 8i quando abbiamo esposto il metodo 2

    8i=8\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

    da cui possiamo dedurre immediatamente che il modulo e argomento di 8i valgono rispettivamente

    |8i|=8\ \ \ \mbox{e} \ \ \ Arg(8i)=\frac{\pi}{2}

    Grazie ad esse possiamo calcolare le radici quadrate di 8i mediante la relazione

    \sqrt{8i}=\sqrt{|8i|}\left[\cos\left(\frac{Arg(8i)+2k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(8i)+2k\pi}{2}\right)\right]=\\ \\ \\ =\sqrt{8}\left[\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)\right]

    dove k=0,1.

    Per k=0 otteniamo

    \sqrt{8}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]=2+2i

    Per k=1 otteniamo

    \sqrt{8}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]=-2-2i

    In definitiva

    w^2=8i\iff w=2+2i\vee w=-2-2i

    Ripristiniamo l'incognita z tenendo conto della sostituzione fatta, ossia w=z+i:

    - dalla soluzione

    w=2+2i

    segue

    z+i=2+2i

    da cui otteniamo

    z=2+i

    - dalla soluzione

    w=-2-2i

    segue

    z+i=-2-2i

    da cui otteniamo

    z=-2-3i

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi