Soluzioni
  • Ciao Sandros arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Data una matrice quadrata

    A\in M_n(\mathbb{R})

    per determinare gli autovalori devi 

    • Costruire la matrice 

    A-\lambda I

    dove I è la matrice identità di ordine n, mentre \lambda è uno scalare :)

     • Determinare il determinante della matrice appena costruita:

    \det(A-\lambda I)

    Il determinante sarà un polinomio in \lambda di grado n, detto polinomio caratteristico.

    • Determina le radici del polinomio caratteristico, in pratica devi risolvere l'equazione in \lambda

    \det(A-\lambda I)=0

     se otterrai soluzioni reali essi saranno i tuoi autovalori :)

    Una volta determinati gli autovalori, andiamo alla ricerca degli autovettori. Per farlo, dobbiamo impostare l'equazione matriciale dell'autospazio:

    Per ciascun autovalore \lambda andiamo alla ricerca del vettore \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n tale che

    (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}

    In realtà 

    \mathbv{x}

    rappresenterà l'insieme degli autovettori associati all'autovalore \lambda tu ne dovrai scegliere 1 solo.

    Intanto leggi quello che ho scritto, l'esempio arriverà a momenti ;)

    Risposta di Ifrit
  • Ok, riportiamo un esempio:

    A= \begin{pmatrix}1&-2\\-3&2\end{pmatrix}

    Costruiamo la matrice A-\lambda I

    A-\lambda I= \begin{pmatrix}1-\lambda&-2\\-3&2-\lambda\end{pmatrix}

     

    Calcoliamone il determinante, otterremo il polinomio caratteristico:

    \det(A-\lambda I)= (1-\lambda)(2-\lambda)-6=\lambda^2-3\lambda-4

    Imponiamo che il determinante sia uguale a zero:

    \det(A-\lambda I)=0\iff \lambda^2-3\lambda-4= 0

    Risolviamo l'equazione:

    \lambda^2-3\lambda-4=0\iff \lambda_1=4\,\, \lambda_2=-1

    I valori ottenuti sono gli autovalori.

    Per determinare gli autovettori procediamo in questo modo:

    \lambda_1=4

    Sostituiamo 4 a \lambda nella espressione:

    A-\lambda I= \begin{pmatrix}1-\lambda&-2\\-3&2-\lambda\end{pmatrix}

    ottenendo:

    A-4 I= \begin{pmatrix}1-4&-2\\-3&2-4\end{pmatrix}

    A-4 I= \begin{pmatrix}-3&-2\\-3&-2\end{pmatrix}

    L'equazione dell'autospazio è quindi:

    (A-4 I)\mathbf{x}=\mathbf{0}

    diventa:

     \begin{pmatrix}-3&-2\\-3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

    Riducendo a scala la matrice avremo:

     \begin{pmatrix}-3&-2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

    -3x-y=0\implies -3x=y

    La famiglia degli autovettori associati all'autovalore 4 sono della forma:

    \begin{pmatrix}x\\-3x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}

    Un autovettore lo puoi scegliere prendendo x=1.

    Lo stesso procedimento lo devi fare per l'altro autovalore.

     

    Ti consiglio di dare un'occhiata alla guida su autovalori e autovettori, lì trovi tutta la teoria, il metodo di calcolo e alcuni esempi. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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