Soluzioni
  • Il limite parametrico

    \lim_{x\to+\infty}(x^3-e^{\alpha x})=(\bullet)\ \ \ \mbox{con} \ \alpha>0

    può essere calcolato agilmente confrontando tra loro gli infiniti e mettendo in evidenza l'infinito di ordine superiore. Indipendentemente dal valore positivo che \alpha può assumere, l'infinito di ordine superiore coincide con la funzione esponenziale.

    Raccogliendo totalmente e^{\alpha x} il limite si riscrive come

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{\alpha x}\left(\frac{x^3}{e^{\alpha x}}-1\right)=(\bullet\bullet)

    La gerarchia degli infiniti assicura la nullità del seguente limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^{\alpha x}}=0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha>0

    pertanto possiamo concludere che

    \lim_{x\to+\infty}e^{\alpha x}\left(\frac{x^3}{e^{\alpha x}}-1\right)=[+\infty\cdot (-1)]=-\infty \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha>0

    Fatto.

    Risposta di Ifrit
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