Soluzioni
  • La funzione di cui cerchiamo il dominio è:

    f(x)=\frac{\sqrt{4+\arccos\left(\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\right)}}{\sqrt{x^2-4x+5}-3}

    Affinché f(x) abbia senso, dobbiamo richiedere che le seguenti condizioni siano soddisfatte contemporaneamente:

    - il radicando della radice al numeratore dev'essere maggiore o al più uguale a zero

    4+\arccos\left(\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\right)\ge 0

    - il denominatore dev'essere non nullo

    \sqrt{x^2-4x+5}-3\ne 0

    Costruiamo pertanto il sistema di disequazioni

    \begin{cases}\arccos\left(\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\right)\ge -4 \\ \\ \sqrt{x^2-4x+5}\ne 3\end{cases}

    che risolviamo iniziando dalla disequazione con l'arcocoseno

    \arccos\left(\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\right)\ge -4

    Per definizione, l'arcocoseno è certamente una funzione non negativa, pertanto la disequazione è soddisfatta a patto che il suo argomento sia compreso tra -1 e 1 inclusi. Deve pertanto sussistere la doppia disequazione

    -1\le\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\le 1

    equivalente al sistema

    \begin{cases}\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\ge -1 \\ \\ \left|\frac{2-x}{x+3}\right|\le 1\end{cases}

    La non negatività del valore assoluto assicura che la prima disequazione è soddisfatta nel momento in cui il suo argomento è ben definito, vale a dire quando il denominatore di quest'ultimo è non nullo:

    \left|\frac{2-x}{x+3}\right|\ge -1 \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}-\{-3\}

    La seconda disequazione è leggermente più elaborata. In accordo con la definizione di modulo, la disequazione con valore assoluto

    \left|\frac{2-x}{x+3}\right|\le 1

    si riscrive in forma equivalente come

    -1\le\frac{2-x}{x+3}\le 1

    Ci riconduciamo così a un sistema di disequazioni fratte

    \begin{cases}\frac{2-x}{x+3}\ge -1 \\ \\ \frac{2-x}{x+3}\le 1\end{cases}

    che risolviamo singolarmente, dopodiché intersechiamo i loro insiemi soluzione.

    La prima disequazione si scrive in forma normale come

    \frac{2-x+x+3}{x+3}\ge 0 \ \to \ \frac{5}{x+3}\ge 0

    Il numeratore è chiaramente positivo, pertanto il segno della frazione dipende esclusivamente da quello del denominatore:

    D>0 \ \to \ x+3>0 \ \to \ x>-3

    dunque la disequazione è soddisfatta per x>-3.

    Consideriamo la seconda disequazione del sistema, vale a dire:

    \\ \frac{2-x}{x+3}\le 1 \ \to \ \frac{2-x-x-3}{x+3}\le 0 \ \to \\ \\ \\ \to \ \frac{-2x-1}{x+3}\le 0

    Analizziamo il segno del numeratore e quello del denominatore

    \\ N\ge 0 \ \to \ -2x-1\ge 0 \ \to \ x\le-\frac{1}{2} \\ \\ \\ D>0 \ \to \ x+3>0 \ \to \ x>-3

    e, una volta costruita la tabella dei segni, ricaviamo che la disequazione è soddisfatta per

    x<-3 \ \vee \ x\ge -\frac{1}{2}

    Intersecando gli insiemi soluzioni, otteniamo x\ge -\frac{1}{2} che rappresenta l'insieme delle soluzioni del sistema

    \begin{cases}\left|\frac{2-x}{x+3}\right|\ge -1 \\ \\ \left|\frac{2-x}{x+3}\right|\le 1\end{cases}

    Imponiamo, ora, la non nullità del denominatore di f(x), ossia analizziamo l'equazione irrazionale

    \sqrt{x^2-4x+5}-3\ne 0 \ \to \ \sqrt{x^2-4x+5}\ne 3

    In accordo con la teoria, costruiamo un sistema che consta di due condizioni: la prima serve a garantire la non negatività del radicando, la seconda si ottiene elevando al quadrato i due membri.

    \begin{cases}x^2-4x+5\ge 0 \\ \\ x^2-4x+5\ne 9\end{cases}

    La disequazione di secondo grado

    x^2-4x+5\ge 0

    è sempre verificata perché il discriminante è negativo e il coefficiente di x^2 è maggiore di zero. Per quanto concerne la condizione

    x^2-4x+5\ne 9 \ \to \ x^2-4x-4\ne 0

    essa è un'equazione di secondo grado, il cui delta è

    \Delta=b^2-4ac= 16+16=32

    pertanto i valori che vanno esclusi sono 

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{4\pm 4\sqrt{2}}{2}=2\pm 2\sqrt{2}

    Con le informazioni a nostra disposizione possiamo asserire che il sistema

    \begin{cases}x^2-4x+5\ge 0 \\ \\ x^2-4x+5\ne 9\end{cases}

    ha per soluzioni l'intero asse reale esclusi i punti x_1 \ \mbox{e} \  x_2, vale a dire

    x\in\mathbb{R}-\left\{2\pm2\sqrt{2}\right\}

    Ricapitolando:

    - affinché la radice al numeratore esista dobbiamo richiedere che

    x\ge -\frac{1}{2}

    - affinché il denominatore di f(x) sia non nullo dobbiamo invece richiedere che

    x\in\mathbb{R}-\left\{2\pm2\sqrt{2}\right\}

    Intersecando le due condizioni, ricaviamo che il dominio della funzione è

    Dom(f)=\left[-\frac{1}{2}, 2+2\sqrt{2}\right) \ \cup \ \left(2+2\sqrt{2},+\infty\right)

    Risposta di Ifrit
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