Soluzioni
  • Il nostro compito prevede di determinare le soluzioni dell'equazione trascendente

    \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)=x

    avvalendoci del metodo grafico. Riteniamo sia opportuno sottolineare che nessuna delle tecniche elementari consente di ricavare le soluzioni esatte, infatti quella che stiamo esaminando è a conti fatti un'equazione non risolvibile algebricamente.

    Prima di innescare il metodo grafico, effettuiamo alcune considerazioni preliminari. La funzione seno

    y=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)

    è certamente limitata in \mathbb{R}, infatti sussiste la doppia disuguaglianza

    -1\le\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\le 1

    per ogni numero reale x. Questa informazione è particolarmente importante perché fornisce un vincolo sull'incognita, infatti poiché il primo membro è compreso tra -1 e 1 inclusi, anche il secondo membro deve rispettare questa condizione, altrimenti l'equazione non ammetterà soluzioni. Scriviamo quindi:

    -1\le x\le 1

    e deduciamo che se x<-1 oppure x>1 l'equazione non ammette certamente soluzioni, le quali se esistono devono obbligatoriamente appartenere all'intervallo [-1,1].

    Per semplificare la rappresentazione, conviene operare la seguente sostituzione

    t=\frac{\pi}{2}x

    da cui, esprimendo x in termini di t ricaviamo

    x=\frac{2}{\pi}t

    Tali relazioni consentono di esprimere l'equazione nella forma

    \sin(t)=\frac{2}{\pi}t

    A questo punto, consideriamo le funzioni

    y=\sin(t)\ \ \ , \ \ \ y=\frac{2}{\pi}t

    e rappresentiamole nel piano cartesiano Oty: basta quindi il grafico della funzione seno e quello della retta con coefficiente angolare m=\frac{2}{\pi} e ordinata all'origine q=0.

    I punti di intersezione tra il grafico di

    y=\sin(t) \ \ \ \mbox{e}\ \ \ y=\frac{2}{\pi}t

    sono

    \left(t_1, y_1\right)=\left(-\frac{\pi}{2},\ -1\right) \\ \\ \\ (t_2, \ y_2)=(0,0) \\ \\ \\ (t_3, \ y_3)=\left(\frac{\pi}{2},\ 1\right)

    Di tali punti abbiamo bisogno esclusivamente delle ascisse

    t_1=-\frac{\pi}{2} \ \ \ , \  \ \ t_2=0 \ \ \ , \ \ \ t_3=\frac{\pi}{2}

    che rappresentano le soluzioni dell'equazione in t. A questo punto, ripristiniamo l'incognita x, avvalendoci della sostituzione

    t=\frac{\pi}{2}x

    Grazie a essa, la relazione t=-\frac{\pi}{2} si traduce nell'equazione di primo grado in x

    \frac{\pi}{2}x=-\frac{\pi}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=-1

    La relazione t=0 diventa invece

    \frac{\pi}{2}x=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0

    Infine t=\frac{\pi}{2} diviene

    \frac{\pi}{2}x=\frac{\pi}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=1

    I valori in x, ossia

    x=-1 \ \ \ ,\  \ \ x=0 \ \ \ , \ \ \ x=1

    sono le soluzioni (esatte) dell'equazione data inizialmente.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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