Integrale fratto con radice a denominatore

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Buongiorno, mi direste come risolvere questo integrale fratto? Grazie mille...A denominatore è presente una radice quadrata:

 

∫ x / √(1-x) dx.

Domanda di MartinaG

 
Soluzioni

  • Buondì MartinaG, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Consideriamo l'integrale

    ∫(x)/(√(1-x))dx

    e integriamo per sostituzione, ponendo t = 1-x, da cui si ricava x = 1-t e quindi il differenziale della trasformazione inversa, che è dato da

    dx = -dt

    Sostituiamo tutto nell'integrale, che assume la forma

    -∫(1-t)/(√(t))dt

    Spezziamo la frazione

    -∫[(1)/(√(t))-(t)/(√(t))]dt

    -∫[(1)/(√(t))-√(t)]dt

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale: l'integrale di una somma è la somma degli integrali

    -∫(1)/(√(t))dt+∫√(t)dt

    Scriviamo le radici come potenze

    -∫t^(-(1)/(2))dt+∫t^((1)/(2))dt

    Ora calcolare i due integrali è facile:

    -[(t^(-(1)/(2)+1))/(-(1)/(2)+1)]+[(t^((1)/(2)+1))/((1)/(2)+1)]+c

    cioè

    -(t^((1)/(2)))/((1)/(2))+(t^((3)/(2)))/((3)/(2))+c

    ossia

    -2√(t)+(2)/(3)√(t^3)+c

    Contro-sostituzione

    -2√(1-x)+(2)/(3)√((1-x)^3)+c

    Ed ecco fatto Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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