Soluzioni
  • Buondì MartinaG, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Consideriamo l'integrale

    \int{\frac{x}{\sqrt{1-x}}dx}

    e integriamo per sostituzione, ponendo t=1-x, da cui si ricava x=1-t e quindi il differenziale della trasformazione inversa, che è dato da

    dx=-dt

    Sostituiamo tutto nell'integrale, che assume la forma

    -\int{\frac{1-t}{\sqrt{t}}dt}

    Spezziamo la frazione

    -\int{\left[\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{t}{\sqrt{t}}\right]dt}

    -\int{\left[\frac{1}{\sqrt{t}}-\sqrt{t}\right]dt}

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale: l'integrale di una somma è la somma degli integrali

    -\int{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}+\int{\sqrt{t}dt}

    Scriviamo le radici come potenze

    -\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}+\int{t^{\frac{1}{2}}dt}

    Ora calcolare i due integrali è facile:

    -\left[\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]+\left[\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]+c

    cioè

    -\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c

    ossia

    -2\sqrt{t}}+\frac{2}{3}\sqrt{t^3}+c

    Contro-sostituzione

    -2\sqrt{1-x}}+\frac{2}{3}\sqrt{(1-x)^3}+c

    Ed ecco fatto Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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