Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di determinare le soluzioni dell'equazione con i valori assoluti

    |x-|x-2||=2

    Purtroppo la presenza dei moduli "incapsulati" uno dentro l'altro complica la risoluzione mediante lo studio del segno dell'argomento: strategia questa da evitare anche perché l'equazione ricalca il modello

    |A(x)|=k

    con k=2\ \mbox{e} \ A(x)=x-|x-2|. In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti

    x-|x-2|=-2 \ \ \ , \ \ \ x-|x-2|=2

    Risolviamole separatamente partendo dalla prima

    x-|x-2|=-2

    Per calcolare le eventuali soluzioni, analizziamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto, impostando la disequazione di primo grado

    x-2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 2

    Deduciamo quindi che:

    - se x\ge 2, il binomio x-2 è positivo o al più nullo, dunque il valore assoluto può essere bellamente trascurato e l'equazione diventa

    x-(x-2)=-2 \ \ \ \to \ \ 2=-2

    Ci siamo ricondotti a un'equazione priva di incognite impossibile.

    - Se x<2, il binomio x-2 è negativo: questa volta possiamo sbarazzarci del valore assoluto se e solo se cambiamo i segni del suo argomento, e dunque l'equazione diventa

    x-(-x+2)=-2 \ \ \ \to \ \ \2x=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0

    La soluzione è accettabile perché x=0 soddisfa il vincolo x<2.

    Occupiamoci della seconda

    x-|x-2|=2

    riciclando il metodo che abbiamo utilizzato per il caso precedente.

    Se x\ge 2, il binomio x-2 è positivo o al più nullo, quindi il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia

    x-(x-2)=2

    Sviluppati i calcoli, otteniamo

    2=2

    ossia un'identità condizionata dal vincolo x\ge 2. Ciò significa che tutti i valori maggiori o uguali a due soddisfano l'equazione di partenza.

    Se x<2, il binomio x-2 è negativo, pertanto trascuriamo il valore assoluto a patto di cambiare i segni al proprio argomento

    x-(-x+2)=2

    da cui

    2x-2=2 \ \ \ \to \ \ \ x=2

    Non rispettando la condizione x<2, il risultato non può essere considerato soluzione dell'equazione.

    Possiamo finalmente concludere che l'insieme soluzione dell'equazione

    |x-|x-2||=2

    è

    S:=\left\{x:\ x=0 \ \vee \ x\ge 2\right\}

    e dunque essa è indeterminata.

    Risposta di Ifrit
 
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