Equazione con doppio valore assoluto da risolvere

L'esercizio ci chiede di determinare le soluzioni dell'equazione con i valori assoluti

Purtroppo la presenza dei moduli "incapsulati" uno dentro l'altro complica la risoluzione mediante lo studio del segno dell'argomento: strategia questa da evitare anche perché l'equazione ricalca il modello

con . In accordo con la teoria, le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle seguenti

Risolviamole separatamente partendo dalla prima

Per calcolare le eventuali soluzioni, analizziamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto, impostando la disequazione di primo grado

Deduciamo quindi che:

- se , il binomio è positivo o al più nullo, dunque il valore assoluto può essere bellamente trascurato e l'equazione diventa

Ci siamo ricondotti a un'equazione priva di incognite impossibile.

- Se , il binomio è negativo: questa volta possiamo sbarazzarci del valore assoluto se e solo se cambiamo i segni del suo argomento, e dunque l'equazione diventa

La soluzione è accettabile perché soddisfa il vincolo .

Occupiamoci della seconda

riciclando il metodo che abbiamo utilizzato per il caso precedente.

Se , il binomio è positivo o al più nullo, quindi il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia

Sviluppati i calcoli, otteniamo

ossia un'identità condizionata dal vincolo . Ciò significa che tutti i valori maggiori o uguali a due soddisfano l'equazione di partenza.

Se , il binomio è negativo, pertanto trascuriamo il valore assoluto a patto di cambiare i segni al proprio argomento

da cui

Non rispettando la condizione , il risultato non può essere considerato soluzione dell'equazione.

Possiamo finalmente concludere che l'insieme soluzione dell'equazione

è

e dunque essa è indeterminata.