Soluzioni
  • Quello proposto

    \int_{1}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{1+e^{2x^2}}dx=(\bullet)

    è a tutti gli effetti un integrale improprio di prima specie, e lo si evince dal fatto che il dominio di integrazione [1,+\infty) è un intervallo illimitato.

    Detto ciò possiamo iniziare con lo studio del comportamento dell'integrale con uno dei criteri di convergenza per gli integrali impropri di prima specie: in particolare utilizzeremo il criterio del confronto asintotico.

    L'integrale (\bullet) può essere riscritto nella forma

    (\bullet)=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\frac{1}{e^{x^2}}+e^{x^2}}dx

    Osserviamo ora che per x\to +\infty sussiste la seguente equivalenza asintotica

    \frac{1}{e^{x^2}}+e^{x^2}\sim_{x\to +\infty}e^{x^2}

    questo perché \frac{1}{e^{x^2}} è un infinitesimo per x\to +\infty e in quanto tale può essere trascurato.

    Il criterio del confronto asintotico assicura che l'integrale proposto ha lo stesso comportamento dell'integrale

    \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^{x^2}}dx

    Purtroppo non possiamo ricorrere alla definizione di integrale improprio per comprendere se quest'ultimo integrale converge o meno, perché la funzione y=\frac{1}{e^{x^2}} ammette sì primitiva, ma non si può esprimere mediante composizione di funzioni elementari.

    Osserviamo però che, all'infinito, la funzione esponenziale è definitivamente maggiore di qualsiasi potenza con esponente positivo, o detto in altri termini esiste x_0>0 tale che

    e^{x^2}>x^n\mbox{ per }x>x_0>0

    Passando ai reciproci membro a membro

    \frac{1}{e^{x^2}}<\frac{1}{x^{n}}\mbox{ per }x>x_0>0

    Basta quindi scegliere n di modo che

    \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{n}}dx

    sia convergente e un buon esponente è n=2.

    Poiché

    \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx

    è un integrale improprio notevole convergente allora per il criterio del confronto converge anche l'integrale

    \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^{x^2}}dx

    e infine per il criterio del confronto asintotico converge anche l'integrale di partenza. Concludiamo che

    \int_{1}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{1+e^{2x^2}}dx

    è un integrale improprio di prima specie convergente.

    Risposta di Ifrit
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