Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    ∫(x+1)/(x-3)dx =

    è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta, in cui il grado del polinomio al numeratore N(x) = x+1 coincide con quello del polinomio al denominatore.

    Sotto questa condizione si aprono due strategie risolutive: o eseguiamo la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore, oppure procediamo con dei trucchi algebrici.

    Procediamo con il secondo metodo, il quale richiede sì una certa dose di ingegno ma limita notevolmente i conti. Il barbatrucco consiste nel sommare e sottrarre 4 al numeratore dell'integranda così da poterla poi manipolare algebricamente e in seguito effettuare una semplificazione.

    In dettaglio:

     = ∫(x+1-4+4)/(x-3)dx = ∫(x-3+4)/(x-3)dx =

    Spezziamo la frazione algebrica

    = ∫((x-3)/(x-3)+(4)/(x-3))dx =

    e semplifichiamo x-3

    = ∫(1+(4)/(x-3))dx =

    Mediante le proprietà degli integrali possiamo scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali dei singoli addendi:

     = ∫ 1 dx+∫ (4)/(x-3)dx = ∫ 1dx+4 ∫(1)/(x-3)dx = (•)

    Osserviamo che quelli ottenuti sono integrali fondamentali, in particolare l'integrale di 1 è x+c_1, mentre il secondo integrale è riconducibile ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato un logaritmo a meno di costanti additive:

    ∫(h'(x))/(h(x))dx = ln(|h(x)|)+k

    Possiamo concludere quindi che

     (•) = x+c_1+4ln(|x-3|)+c_2 = x+4ln(|x-3|)+k

    dove k = c_1+c_2 è una costante reale additiva che ingloba le costanti che scaturiscono dalla risoluzione degli integrali.

    Risposta di Ifrit
 
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