Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    \int\frac{x+1}{x-3}dx=

    è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta, in cui il grado del polinomio al numeratore N(x)=x+1 coincide con quello del polinomio al denominatore.

    Sotto questa condizione si aprono due strategie risolutive: o eseguiamo la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore, oppure procediamo con dei trucchi algebrici.

    Procediamo con il secondo metodo, il quale richiede sì una certa dose di ingegno ma limita notevolmente i conti. Il barbatrucco consiste nel sommare e sottrarre 4 al numeratore dell'integranda così da poterla poi manipolare algebricamente e in seguito effettuare una semplificazione.

    In dettaglio:

    \\ =\int\frac{x+1-4+4}{x-3}dx= \\ \\ \\ =\int\frac{x-3+4}{x-3}dx=

    Spezziamo la frazione algebrica

    =\int\left(\frac{x-3}{x-3}+\frac{4}{x-3}\right)dx=

    e semplifichiamo x-3

    =\int\left(1+\frac{4}{x-3}\right)dx=

    Mediante le proprietà degli integrali possiamo scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali dei singoli addendi:

    \\ =\int 1 dx+\int \frac{4}{x-3}dx=\\ \\ \\ = \int 1dx+4 \int\frac{1}{x-3}dx=(\bullet)

    Osserviamo che quelli ottenuti sono integrali fondamentali, in particolare l'integrale di 1 è x+c_1, mentre il secondo integrale è riconducibile ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato un logaritmo a meno di costanti additive:

    \int\frac{h'(x)}{h(x)}dx=\ln(|h(x)|)+k

    Possiamo concludere quindi che

    \\ (\bullet)=x+c_1+4\ln(|x-3|)+c_2= \\ \\ = x+4\ln(|x-3|)+k

    dove k=c_1+c_2 è una costante reale additiva che ingloba le costanti che scaturiscono dalla risoluzione degli integrali.

    Risposta di Ifrit
 
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