Integrale fratto di con polinomi di primo grado

L'integrale indefinito

è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta, in cui il grado del polinomio al numeratore coincide con quello del polinomio al denominatore.

Sotto questa condizione si aprono due strategie risolutive: o eseguiamo la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore, oppure procediamo con dei trucchi algebrici.

Procediamo con il secondo metodo, il quale richiede sì una certa dose di ingegno ma limita notevolmente i conti. Il barbatrucco consiste nel sommare e sottrarre 4 al numeratore dell'integranda così da poterla poi manipolare algebricamente e in seguito effettuare una semplificazione.

In dettaglio:

Spezziamo la frazione algebrica

e semplifichiamo

Mediante le proprietà degli integrali possiamo scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali dei singoli addendi:

Osserviamo che quelli ottenuti sono integrali fondamentali, in particolare l'integrale di 1 è , mentre il secondo integrale è riconducibile ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato un logaritmo a meno di costanti additive:

Possiamo concludere quindi che

dove è una costante reale additiva che ingloba le costanti che scaturiscono dalla risoluzione degli integrali.