Soluzioni
  • Per calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado in seno e coseno

    \sin^2(x)+4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)+2=0

    possiamo avvalerci della relazione fondamentale della goniometria

    \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R} 

    mediante la quale possiamo esprimere 2 come 2(\sin^2(x)+\cos^2(x)) e riscrivere l'equazione nella forma

    \sin^2(x)+4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)+2(\sin^2(x)+\cos^2(x))=0

    da cui

    \sin^2(x)+4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)+2\sin^2(x)+2\cos^2(x)=0

    Una volta sommati tra loro i termini simili, l'equazione si riduce alla seguente equazione omogenea

    3\sin^2(x)+4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+3\cos^2(x)=0

    per la quale esiste una strategia ben precisa per ricavarne le soluzioni: essa prevede di dividere i termini per \cos^2(x)

    3\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+4\sqrt{3}\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+3\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

    di semplificare opportunamente e di utilizzare la definizione di tangente di un angolo, attraverso la quale ci riconduciamo a un'equazione goniometrica di secondo grado in termini di tangente:

    3\tan^2(x)+4\sqrt{3}\tan(x)+3=0

    Per risolverla, usiamo la sostituzione razionalizzante t=\tan(x) e scriviamo l'equazione di secondo grado in t:

    3t^2+4\sqrt{3}t+3=0

    Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c i coefficienti del polinomio al primo membro, posto cioè:

    a=3 \ \ \ , \ \ \ b=4\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ c=3

    le radici dell'equazione in t usando la formula

    \\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{(4\sqrt{3})^2-4\cdot 3\cdot 3}}{6}=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}=

    Si noti che grazie alle proprietà delle radici, \sqrt{12}=2\sqrt{3} per cui otteniamo:

    =\frac{-4\sqrt{3}\pm 2\sqrt{3}}{6}=\begin{cases}\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=-\sqrt{3}=t_1\\ \\ \frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}=t_2\end{cases}

    Attenzione, non abbiamo ancora finito: occorre riportare nell'incognita x tenendo conto della sostituzione t=\tan(x). Essa consente di tramutare le relazioni

    t=-\sqrt{3} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=-\frac{\sqrt{3}}{3}

    nelle equazioni goniometriche elementari in tangente

    \tan(x)=-\sqrt{3}\ \ \ , \ \ \ \tan(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}

    la prima delle quali è soddisfatta dai seguenti valori:

    x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    mentre la seconda ha per soluzioni:

    x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    In definitiva, concludiamo che l'equazione

    \sin^2(x)+4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)+2=0

    è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

    x=-\frac{\pi}{3}+k\pi  \ \ \ , \ \ \ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi

    dove k è un numero intero. Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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