Convergenza dell'integrale improprio di e^(-x^2)

Question

Ho una domanda sullo studio della convergenza di un integrale improprio. Non riesco a dimostrare che il seguente integrale improprio è convergente ∫_(0)^(+∞)e^(-x^2)dx Grazie mille a chi risponderà.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo l'integrale ∫_(0)^(+∞)e^(-x^2)dx = esso è precisamente un integrale improprio di prima specie giacché il dominio di integrazione è un intervallo illimitato e l'integranda f(x) = e^(-x^2) è una funzione continua in [0,+∞) di conseguenza non vi sono punti singolari. Per semplificare lo studio, spezziamo l'integrale come somma di due integrali, e lo possiamo fare grazie ad una delle proprietà degli integrali = ∫_(0)^(1)e^(-x^2)dx+∫_(1)^(+∞)e^(-x^2)dx Il primo integrale converge sicuramente perché f(x) è continua nell'intervallo chiuso e limitato [0,1] e dunque risulta integrabile (per approfondire: classi di funzioni integrabili). Vediamo come possiamo mostrare la convergenza del secondo integrale. Per ogni x∈ [1,+∞) si ha che x ≤ x^2, cambiando segno membro a membro otteniamo la disuguaglianza-x^2 ≤ -x e infine applicando la funzione esponenziale membro a membro otteniamo che e^(-x^2) ≤ e^(-x). Per la monotonia dell'integrale si ha quindi che 0 ≤ ∫_(1)^(+∞)e^(-x^2)dx ≤ ∫_(1)^(+∞)e^(-x)dx Dimostriamo che l'ultimo integrale converge mediante la definizione stessa di integrale improprio ; ∫_(1)^(+∞)e^(-x)dx = lim_(M → +∞)∫_(1)^(M)e^(-x)dx = lim_(M → +∞)[-e^(-x)]_(1)^(M) = lim_(M → +∞)[e^(-1)-e^(-M)] = e^(-1) Il limite esiste ed è finito pertanto ∫_(1)^(+∞)e^(-x)dx converge e per il criterio del confronto per gli integrali impropri di prima specie, converge anche: ∫_(1)^(+∞)e^(-x^2)dx e di conseguenza l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.