Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Aspetta un istante: la curva è l'ellisse

    x^2+4y^2=1

    poi abbiamo la retta

    y=\frac{x}{2}

    Tu intendi che è richiesto di clcolare l'integrale di linea del campo assegnato lungo la curva costituita in parte dall'ellisse e in parte dalla retta, ho capito bene?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sisi ;)

    Risposta di Danilo
  • L'alternativa al qui furbissimo GG avresti potuto calcolare l'integrale secondo la definizione di integrale di linea di seconda specie, ovvero: detto V il campo vettoriale

    V(x,y)=(3x-7,x+3y)

    si tratta di parametrizzare la curva orientata \Gamma, che qui è meta ellisse. Possiamo, grazie alle proprietà dell'integrale di linea, spezzare l'integrale nella somma di due integrali: uno lungo il ramo di ellisse \Gamma_1, che parametrizziamo come

    x=\cos{(\theta)}

    y=\frac{1}{2}\sin{(\theta)}

    prendendo opportuni estremi di integrazione.

    Il secondo lungo il segmento, che parametrizziamo banalmente come

    x=t

    y=\frac{t}{2}

    Fatto ciò, si calcola il campo vettoriale dei versori tangenti alla curva (che chiamiamo T^1,T^2) rispettivamente per la prima e la seconda curva.

    Infine, si calcola l'integrale di linea come somma dei due integrali 

    \int_{\Gamma_i}{V(x,y)\cdot T^i(x,y)ds}

    dove \cdot indica l'usuale prodotto scalare. Dobbiamo però, in entrambi i casi, ricondurci alle parametrizzazioni considerate: dette esse \phi^i(t):

    \int_{\Gamma_i}{V(\phi^i(t))\cdot T^i(\phi^i(t))|(\phi')^i(t)|dt}

    In parole povere, l'integrale di linea di seconda specie si calcola come integrale di linea di prima specie del campo scalare tra il campo assegnato e il campo dei versori tangenti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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