Soluzioni
  • S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x-hy-z=0, \ x+z=1-h\}

    è un sottoinsieme dello spazio vettoriale V=\mathbb{R}^3 munito delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare.

    In generale, una condizione necessaria affinché un insieme S sia un sottospazio vettoriale di V è che vi appartenga lo zero di V, che in questo caso è il vettore

    \mathbf{0}=(0,0,0).

    Imponiamo allora che \mathbf{0} appartenga a S.

    Sostituiamo x=0, \ y=0, \ z=0 nelle equazioni che definiscono S.

    Prima equazione

    x-hy-z=0 \ \to \ 0-0-0 = 0 \ \to \ 0=0

    dunque è verificata per ogni h \in \mathbb{R}.

    Seconda equazione

    x+z=1-h \ \to \ 0+0 = 1-h \ \to \ 1-h=0

    che è soddisfatta per h=1.

    Ecco allora che, affinché sia verificata la condizione necessaria, h deve essere 1, il che vuol dire che se h \neq 1 l'insieme S non è un sottospazio in quanto non vi appartiene il vettore nullo.

    Tuttavia, ciò non basta a concludere. Dobbiamo vedere cosa accade per h=1. Per questo valore del parametro l'insieme S diventa

    S_{h=1}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x-y-z=0, \ x+z=0\}

    Le equazioni che lo definiscono sono lineari e omogenee, e quindi S è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3.

    In definitiva, la risposta corretta è la numero 3).

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare