Come scegliere l'ordine del polinomio di taylor

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Salve a tutti. Spesso mi capitano limiti di questo genere:

lim x-->0  [2(1+2x)1/2 - (1+4x)1/2 - cosx]/xβ

Una volta visto che è una forma indeterminata e che i limiti notevoli non sono andatti, e che hopital in questo caso sarebbe un suicido, proverei ad applicare Taylor con centro in zero, però il problema è: in quale ordine mi fermo? Sugli appunti ho specie di confronto, ma non ho capito come funziona. Cerco illuminazioni ! Grazie mille. :)

Domanda di povi

 
Soluzioni

  • Ciao Povi arrivo a rispondere :)

    Risposta di Ifrit

  • L'ordine a cui fermarti è semplice da determinare, devi fare in modo che, una volta sviluppati tutti i termini in gioco, ti rimangano termini non nulli.

    Iniziamo:

    √(1+2x) = 1+x-(x^2)/(2)+o(x^2)

    dunque:

    2√(1+2x) = 2+2x-x^2+o(x^2)

    mentre:

    √(1+4x) = 1-2x-2x^2+o(x^2)

     

    Il coseno invece si sviluppa come:

    cos(x) = 1-(x^2)/(2)+o(x^2)

    Pertanto:

    2√(1+2x)-√(1+4x)-cos(x) =

    = 2+2x-x^2+o(x^2)-(1-2x-x^2+o(x^2))-(1-(x^2)/(2)+o(x^2)) =

    = 4x+(3x^2)/(2)+o(x^2)

    A questo punto:

    lim_(x → 0)(2√(1+2x)-√(1+4x)-cos(x))/(x^β) =

    lim_(x → 0)(4x)/(x^β) = lim_(x → 0)4x^(1-β)

    Il limite è finito solo se

    1-β ≥ 0 ⇒ β ≤ 1

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille :D 

    Risposta di povi
 
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