Soluzioni
  • Abbiamo la parabola (ti suggerisco di dare uno sguardo alle formule sulla parabola)

    \gamma: y=a x^2+(a-1)x+b

    la retta:

    t: y= 3x-2

    e il punto P(1, y)

    Troviamo l'ordinata imponendo la condizione di appartenenza con la retta:

    P\in T\iff y=3\cdot 1-2\implies y= 1

    Il punto P ha coordinate:

    P(1,1)

    A questo punto dobbiamo determinare i parametri della parabole:

    1= a+a-1+b\implies 2a+b=2\implies b= 2-2a

    la parabola diventa:

    y= a x^2+(a-1)x+2-2a

    Iniziamo coll'impostare il sistema parabola-retta:

    \begin{cases}y= a x^2+(a-1)x+2-2a\\ y=3x-2\end{cases}

    Sempre per sostituzione:

    3x-2= a x^2+(a-1)x+2-2a

    portiamo al primo membro il tutto:

    3x-2-a x^2-(a-1)x-2+2a=0

    otteniamo un'equazione di secondo grado

    -a x^2+(4-a)x-4+a=0

    Calcoliamo il discriminante:

    \Delta= (3-a+1)^2-4(-a)(-a-4+2a)= 16-24a+9a^2

    e imponiamo che sia uguale a zero (condizione di tangenza retta parabola)

    \Delta=0\iff 9a^2-24a+16=0\implies a=\frac{4}{3}

    Pertanto la parabola ha equazione:

    y= \frac{1}{3}(4x^2+x-2)

     

    Eccomi, a questo punto calcoliamo la retta r parallela a t e passante per il punto della parabola di ascissa -1.

    La retta r ha lo stesso coefficiente angolare della retta t,

    r: y=3x+k\quad\k\in \mathbb{R} 

    Ora troviamo il punto Q di ascissa -1 appartenente alla parabola, imponendo la condizione di appartenenza:

    y= \frac{1}{3}(4\cdot 1-1-2)=\frac{1}{3}

    Il punto Q ha coordinate:

    Q(-1, 1/3)

    A questo punto imponiamo la condizione di appartenenza con la retta:

    Q\in r\implies \frac{1}{3}=3\cdot\frac{1}{3}+k\implies k=-\frac{2}{3}

    La retta r è

    r: y=3x-\frac{2}{3}

     

    Calcoliamo ora l'area del segmento parabolico.

    Il primo passo consiste nel determinare l'intersezione tra la parabola e retta r:

    \begin{cases}y=\frac{1}{3}(4x^2+x-3)\\ y= 3x-\frac{2}{3}\end{cases}

    Per sostituzione:

    \frac{1}{3}(4x^2+x-3)-3x+\frac{2}{3}=0

    Le soluzioni sono:

    x_1=\frac{1}{2}(2-\sqrt{5})

    x_2=\frac{1}{2}(2+\sqrt{5})

    Ora valutiamo le ordinate dei punti ottenuti, valutando la retta:

    y_1= 3(1/2(2-\sqrt{5}) )-2/3= -2/3+3/2(2-\sqrt{5})

    y_2= 3(1/2(2+\sqrt{5}))-2/3=-2/3+3/2(2-\sqrt{5})

    Abbiamo quindi i punti

    A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)

    La distanza tra i due punti è 

    b=d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} = 5\sqrt{2}

    Calcoliamo la distanza tra la retta t e un punto della retta r, ad esempio (0, -3), usando la formula per la distanza punto retta

    h=d((0, -3), t)= \frac{|-3+2|}{\sqrt{9+4}}= \frac{1}{\sqrt{13}}

    Calcoliamo l'area del rettangolo:

    A=b\times h= \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}

    l'area del segmento parabolico è:

    A_P= \frac{2}{3}A= \frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{13}}

    Risposta di Ifrit
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