Soluzioni
  • Ciao Panzerotta arrivo :D 

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la retta:

    r: y= 3x^2-6x+3

    e il punto:

    P\left(\frac{1}{2}, y\right)

     

    Che rappresenta il punto di tangenza. Possiamo determinare l'ordinata imponendo la condizione di appartenenza con la retta r

    P\in r\iff y= 3\cdot\frac{1}{2^2}-6\cdot\frac{1}{2}+3= \frac{3}{4}

     

    Il punto P ha quindi coordinate:

    P\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)

    Costruiamo il fascio di rette f centrato in P:

     

    f: y-\frac{3}{4}= m\left(x-\frac{1}{2}\right)

     

    A questo punto intersechiamo il fascio e la parabola:

     

    \begin{cases}y-\frac{3}{4}= m\left(x-\frac{1}{2}\right)\\y= 3x^2-6x+3\end{cases}

     

    dalla prima equazione otteniamo:

    y= mx-\frac{1}{2}m +\frac{3}{4}

    sostituiamo nella seconda equazione:

    mx-\frac{1}{2} m+\frac{3}{4}=3x^2-6x+3

    da cui, portando al primo membro, otteniamo:

    \frac{1}{4}(-9-2m)+(6+m)x-3x^2=0

     

    Determiniamo il discriminante:

    \Delta=(6+m)^2-4(-3)\left(\frac{1}{4}(-9-2m)\right)= 9+6m+m^2=(3+m)^2

     

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\implies (3+m)^2=0\implies m=-3

     

    La retta tangente è quindi

    y-\frac{3}{4}=-3\left(x-\frac{1}{2}\right)

    Da cui

    y= -3x+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}

    y= -3x+\frac{3}{4}

    ____________________________________________

    A questo punto calcoliamo l'intersezione tra la parabola e l'asse Y:

    \begin{cases}y= 3x^2-6x+3\\ x=0\end{cases}\implies y= 3

    Il punto A ha coordinate A(0, 3)

    ed il vertice ha coordinate:

    V(1, 0)

    Fino a qui ti torna tutto?

    Risposta di Ifrit
  • Si, tutto perfetto :)

    Risposta di Panzerotta
  • A questo punto possiamo calcolare l'area del poligono concavo, scomponendolo in aree di triangoli, in particolare, considereremo i triangoli di vertici:

    OPV

    e

    OPA

    Cominciamo con il primo triangolo:

    La base è OV ed ha lunghezza: b=OV=|1-0|=1

    mentre l'altezza la possiamo calcolare come la distanza tra la retta passante per O e V e il punto P

    La retta passante per O e V è la retta di equazione

    X: y=0

    pertanto:

    h =d(P, X)= \frac{|\frac{3}{4}|}{\sqrt{1}}= \frac{3}{4}

    l'area del rettangolo:

    A_{OPV}= \frac{b\times h}{2}= \frac{3}{8}

     

    Adesso calcoliamo l'area del triangolo OPA

    Per base scegliamo il segmento OA che ha lunghezza:

    b=|3-0|=3

    Per l'altezza procediamo allo stesso modo di prima, determiniamo la retta passante per O e A ed è 

    Y:x=0

    Calcoliamo la distanza tra la retta Y e il punto P:

    h=d(P, Y)=\frac{|\frac{1}{2}|}{1}= \frac{1}{2}

    L'area è

    A_{OPA}=\frac{b\times h}{2}= \frac{\frac{1}{2}\times 3}{2}=\frac{3}{4}

     

    L'area totale è data dalla somma delle aree appena ottenute:

    A=A_{OPV}+A_{OPA}=\frac{3}{8}+\frac{3}{4}= \frac{9}{8}

     

    Torna?

    Risposta di Ifrit
  • Si si, grazie mille :)

    Risposta di Panzerotta
 
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