Integrazione per parti: come scegliere la derivata

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Ciao! Ho una domanda sull'integrazione per parti: in alcuni casi non capisco come scegliere la funzione da usare come derivata e quella da usare come primitiva.

 

Nell'integrale che ci viene dato dobbiamo individuare f(x) e g'(x) e il risultato dell'integrale è f(x)g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx.

Però mi chiedevo: quando abbiamo integrali del tipo ∫ x^2 e^(2x) cos(x) dx, come facciamo a integrare per parti? Ho provato a vedere il prodotto di 2 funzioni come f(x) ma non sono giunto a niente. Grazie mille!

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ok, devo proprio dire che è un integrale tostarello e discretamente lungo da calcolare. Però hai ragione: si procede per parti...

    ∫x^2e^(2x)cos(x)dx

    L'unico modo ragionevola per applicare la formula di integrazione per parti consiste nello scegliere come derivata la funzione f'(x) = e^(2x)cos(x). Piccolo inghippo: per trovare la primitiva, bisogna calcolare un integrale a parte...

    ∫e^(2x)cos(x)dx

    ...in cui bisogna applicare la formula di integrazione per parti due volte, prendendo tutte e due le volte e^(2x) come derivata, la cui primitiva è semplice da calcolare: (1)/(2)e^(2x)

    ∫e^(2x)cos(x)dx = (1)/(2)e^(2x)cos(x)+∫(1)/(2)e^(2x)sin(x)

    Poi si calcola per parti il secondo integrale, e si arriva a

    ∫e^(2x)cos(x)dx = (1)/(2)e^(2x)cos(x)+(1)/(2)[(1)/(2)e^(2x)cos(x)-∫(1)/(2)e^(2x)cos(x)]

    Vale a dire

    ∫e^(2x)cos(x)dx = (1)/(2)e^(2x)cos(x)+(1)/(4)e^(2x)cos(x)-(1)/(4)∫e^(2x)cos(x)

    L'ultimo integrale lo portiamo a sinistra, trattando l'uguaglianza come un'equazione, trovando così

    (5)/(4)∫e^(2x)cos(x)dx = (1)/(2)e^(2x)cos(x)+(1)/(4)e^(2x)cos(x)

    e quindi

    ∫e^(2x)cos(x)dx = (2)/(5)e^(2x)cos(x)+(1)/(5)e^(2x)cos(x)+c

    Fin qui ci sei? A proposito: nella lezione del precedente link ci sono molte indicazioni utili, ti consiglio di darci un'occhiata. ;)

    Risposta di Omega

  • si fin qui si..io avevo provato a vedere f(x) come prodotto di 2 funzioni...però vedendo il procedimento è meglio vedere la derivata come prodotto..e una volta fatto questo come procediamo? grazie

    Risposta di WhiteC

  • Fatto ciò, l'integrale è solamente una questione di calcoli e di attenzione. Sono veramente un bel po' di calcoli, ma sono molto meccanici. Applichiamo la formula di integrazione per parti all'integrale, come descritto sopra

    ∫x^2e^(2x)cos(x) = x^2((2)/(5)e^(2x)cos(x)+(1)/(5)e^(2x)sin(x))-∫2x((2)/(5)e^(2x)cos(x)+(1)/(5)e^(2x)sin(x))dx

    Ora si tratta solo di spezzare l'integrale rimanente nella somma di due integrali, da calcolare separatamente per parti.

    Per il primo si sa già come procedere, mentre nel secondo bisogna trovare a parte una primitiva per la funzione

    e^(2x)sin(x)

    esattamente come fatto per e^(2x)cos(x), procedendo per parti due volte.

    E' evidente che non posso stare qui a postare tutti i conti (ci vorrebbe un'ora), però la linea da seguire per il calcolo è questa, è solo questione di attenzione, non servono intuizioni particolari.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • grazie mille, per i calcoli ci penso io,mi serviva solo la linea guida.. :D

    Risposta di WhiteC
 
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