Soluzioni
  • Due o più sistemi si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni, dunque per stabilire se due sistemi sono equivalenti dobbiamo risolverli e controllare se hanno le medesime soluzioni.

    Calcolo delle soluzioni del primo sistema

    Determiniamo le soluzioni del sistema

    S: \ \begin{cases}x+2y+3z=0 \\ 2x+3y+5z=1 \\ y+z=-1\end{cases}

    Tra i vari metodi risolutivi per i sistemi lineari scegliamo il metodo di Gauss.

    Scriviamo la matrice completa associata a S

    (A|\mathbf{b})_S=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&3&5 \\ 0&1&1\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\right)

    e riduciamola in una matrice a gradini applicando l'algoritmo di eliminazione gaussiana.

    Per annullare l'elemento a_{21}=2 sostituiamo la seconda riga R_2 con -2R_1+R_2

    \\ R_2 \ \to \ -2R_1+R_2 = \\ \\ = -2\begin{pmatrix}1&2&3&|&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&3&5&|&1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-2&-4&-6&|&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&3&5&|&1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-1&-1&|&1\end{pmatrix}

    La matrice che ne risulta è

    (A|\mathbf{b})'_S=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\right)

    che ancora non è a scala. Per renderla tale basta effettuiamo la sostituzione

    \\ R_3 \ \to \ R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-1&-1&|&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&1&|&-1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&|&0\end{pmatrix}

    così da ottenere

    (A|\mathbf{b})''_S=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 0&-1&-1 \\ 0&0&0\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)

    che è una matrice a gradini con r=2 pivot. Il numero delle incognite è n=3, per cui il sistema ammette \infty^{n-r}=\infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni.

    Per calcolarle assegniamo a z il ruolo di parametro libero

    z=t \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

    e componiamo il sistema la cui matrice completa è (A|\mathbf{b})''_S

    \begin{cases}x+2y+3z=0 \\ -y-z=1 \\ z=t\end{cases}

    Risolviamolo col metodo di sostituzione.

    \begin{cases}x+2y+3z=0 \\ -y-z=1 \\ z=t\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x+2y+3t=0 \\ -y-t=1 \\ z=t\end{cases}

    Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima

    \begin{cases}x+2(-1-t)+3t=0 \\ y=-1-t \\ z=t\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x=2-t \\ y=1-t \\ z=t\end{cases}

    Ci siamo! Le soluzioni di S sono

    (x,y,z)=(2-t, \ -1-t, \ t) \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}.

    Risoluzione del secondo sistema

    Componiamo il sistema S' aggiungendo a S l'equazione -x+y=2:

    S': \ \begin{cases}x+2y+3z=0 \\ 2x+3y+5z=1 \\ y+z=-1 \\ -x+y=2\end{cases}

    Risolviamolo con Gauss. Scriviamo la matrice completa associata a S'

    (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&3&5 \\ 0&1&1 \\ -1&1&0\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 2\end{matrix}\right)

    e trasformiamola in una matrice a gradini. Effettuiamo dapprima le sostituzioni

    \\ R_2 \ \to \ -2R_1+R_2 \\ \\ R_4 \ \to \ R_1+R_4

    così da ricavare la matrice

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1 \\ 0&3&3\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 2\end{matrix}\right)

    Successivamente rimpiazziamo terza e quarta riga di (A|\mathbf{b})' con

    \\ R_3 \ \to \ R_2+R_3 \\ \\ R_4 \ \to \ 3R_2+R_4

    La matrice risultante è

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{matrix} 1&2&3 \\ 0&-1&-1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 5\end{matrix}\right)

    che ha una riga della forma

    \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & | & k\end{pmatrix} \ \ \mbox{ con } k \neq 0

    di conseguenza il sistema S' è impossibile, e quindi S e S' non sono sistemi equivalenti.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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