Soluzioni
  • Siano V uno spazio vettoriale su \mathbb{R} e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V.

    Le coordinate rispetto alla base \mathcal{B} di un qualsiasi elemento \mathbf{w} \in V sono gli scalari a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{R} con cui si scrive \mathbf{w} come combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}

    \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

    Nel contesto dell'Algebra Lineare, col termine vettore si intende un elemento di un qualsiasi spazio vettoriale, dunque quanto detto finora si può tranquillamente applicare ai polinomi, intesi come elementi dello spazio vettoriale dei polinomi.

    Con queste premesse procediamo alla risoluzione dell'esercizio, che chiede di calcolare le componenti del polinomio

    q(x)=1+x+x^2 \in \mathbb{R}_2[x]

    rispetto alla base

    \mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} = \{1+x, \ 1+x^2, \ x+x^2\}.

    Scriviamo il polinomio q(x) come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}

    q(x)=ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)

    ossia

    1+x+x^2=a(1+x) + b(1+x^2) + c(x+x^2)

    Svolgiamo le operazioni a secondo membro

    1+x+x^2 = a+ax+b+bx^2+cx+cx^2

    e raccogliamo rispetto a x e a x^2

    1+x+x^2=a+b+(a+c)x+(b+c)x^2

    Per il principio di identità dei polinomi la precedente uguaglianza è soddisfatta se

    \begin{cases}a+b=1 \\ a+c=1 \\ b+c=1\end{cases}

    Risolviamolo col metodo di sostituzione. Ricaviamo a dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda, da cui ricaviamo b in termini di c

    \begin{cases}a=1-b \\ 1-b+c=1 \\ b+c=1\end{cases} \ \to \ \begin{cases}a=1-b \\ b=c \\ b+c=1\end{cases}

    Sostituiamo b=c nella terza equazione

    \begin{cases}a=1-b \\ b=c \\ c+c=1\end{cases} \ \to \ \begin{cases}a=1-b \\ \\ b=c \\ \\ c=\dfrac{1}{2}\end{cases}

    Procediamo con sostituzioni a ritroso e ci siamo

    \begin{cases}a=1-b=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \\ \\ b=c=\dfrac{1}{2} \\ \\ c=\dfrac{1}{2}\end{cases}

    In definitiva

    \\ q(x)=ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)= \\ \\ = \frac{1}{2}p_1(x)+\frac{1}{2}p_2(x)+\frac{1}{2}p_3(x)

    e quindi le componenti di q(x) riferite alla base \mathcal{B} sono \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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