e^ π > π^e, come lo dimostro?

Dunque, per risolvere

x - e ln(x) > 0

possiamo riscriverla nella forma

x > e ln(x)

o anche

x/e > ln(x)

Adesso abbiamo una disequazione in cui sostanzialmente ci viene richiesto: quando la funzione di sinistra ha grafico che sta al di sopra della funzione di destra?

Se x=e, allora abbiamo 1>1 e la disequazione non è verificata. Ora basta osservare che la funzione f(x)=x/e cresce più velocemente di g(x)=ln(x), e per vederlo basta confrontare le derivate per x>e. Le derivate sono

f ' (x)=1/e     e   g ' (x)=1/x  ed evidentemente

1/e > 1/x   per x>e. Quindi la disuguaglianza è vera!

Dato che è vera per x maggiore di e, ed essendo  pigreco maggiore di e è vero che

Π > e ln(Π)

che equivale a

Π > ln (Π^e)

Adesso applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

e^Π> e ^{ln(Π^e)}

ossia, per la definizione di logaritmo naturale

e^Π> Π^e

Namasté - Agente Ω