Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-(1-7x)^{\ln(x)}}{\ln(x^3)(e^{2x}-1)}

    presenta diverse forme di indecisione e per risolverle abbiamo la necessità di trasformare l'esponenziale a base variabile (1-7x)^{\ln(x)} in termini di esponenziale in base e secondo la regola fondamentale

    a^b=e^{b\ln(a)} \ \ \ \forall a>0, b\in\mathbb{R}

    grazie alla quale (1-7x)^{\ln(x)} diventa

    (1-7x)^{\ln(x)}=e^{\ln(x)\ln(1-7x)} \ \ \ \mbox{con}\  x<\frac{1}{7}

    Passiamo perciò dal limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-(1-7x)^{\ln(x)}}{\ln(x^3)(e^{2x}-1)}=

    al seguente

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-e^{\ln(x)\ln(1-7x)}}{\ln(x^3)(e^{2x}-1)}

    Il prossimo passaggio prevede di notare che per x\to 0^{+}, il prodotto \ln(x)\ln(1-7x) tende a 0, infatti se partiamo dal limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)\ln(1-7x)=

    e se moltiplichiamo e dividiamo per -7x, il limite diventa:

    \\ =\lim_{x\to 0^{+}}\left[-7x\ln(x)\frac{\ln(1-7x)}{-7x}\right]=\\ \\ \\ = \lim_{x\to 0^{+}}[-7x\ln(x)]\cdot \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1-7x)}{-7x}=

    Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi per esprimere x\ln(x) nella forma più comoda \ln(x^x)

    =\lim_{x\to 0^{+}}[-7\ln(x^x)]\cdot\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1-7x)}{-7x}=

    In accordo con il limite notevole del logaritmo, il secondo fattore è 1, mentre il primo limite è 0 perché x^x\to 1 per x\to 0

    =0\cdot 1=0

    In definitiva abbiamo scoperto che l'esponente di e^{\ln(x)\ln(1-7x)} è infinitesimo per x\to 0^{+}: ciò ci permette di usare la relazione asintotica notevole

    e^{f(x)}-1\sim f(x) \ \ \ \mbox{per} \ f(x)\to 0

    che garantisce la seguente

    1-e^{\ln(x)\ln(1-7x)}\sim -\ln(x)\ln(1-7x) \ \ \ \mbox{per} \ x\to 0^{+}

    Sempre grazie alla relazione asintotica notevole, ricaviamo inoltre che:

    e^{2x}-1\sim 2x \ \ \ \mbox{per} \ x\to 0^{+}

    Se sostituiamo i termini con le rispettive relazioni asintotiche, il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-e^{\ln(x)\ln(1-7x)}}{\ln(x^3)(e^{2x}-1)}=

    diventa

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\ln(x)\ln(1-7x)}{\ln(x^3)\cdot 2x}=

    Sfruttiamo a questo punto le proprietà dei logaritmi per esprimere \ln(x^3) come 3\ln(x)

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\ln(x)\ln(1-7x)}{3\ln(x)\cdot 2x}=

    dopodiché semplifichiamo \ln(x)

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\ln(1-7x)}{3\cdot 2x}

    Usiamo la relazione asintotica notevole del logaritmo

    \ln(1+f(x))\sim f(x) \ \ \ \mbox{per} \ f(x)\to 0

    grazie alla quale ricaviamo la seguente

    \ln(1-7x)\sim -7x \ \ \ \mbox{per} \ x\to 0

    Alla luce di ciò, il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\ln(1-7x)}{3\cdot 2x}=

    diventa

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-(-7x)}{6x}=\frac{7}{6}

    In definitiva

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-(1-7x)^{\ln(x)}}{\ln(x^3)(e^{2x}-1)}=\frac{7}{6}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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