Soluzioni
  • Abbiamo la funzione

    f(x)=(x-1)^2-1

    Il polinomio di Taylor centrato in x_0 è il polinomio che approssima localmente la funzione in prossimità del centro dello sviluppo. Per dirla in parole povere: il polinomio di Taylor approssima la funzione nell'intorno del centro x_0=1.

    Il polinomio di Taylor  di grado n è della forma

    T_{n, x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

    e fornisce un'approssimazione della funzione in un intorno del punto x_0.

    Con questa premessa, per determinare l'approssimazione della suddetta funzione f(x) in x=\frac{1}{5} ricorrendo allo sviluppo in serie di Taylor centrato in x_0=1, o meglio del polinomio associato allo sviluppo, calcoliamo le derivate prima e seconda della funzione

    \\ f'(x)=2(x-1) \\ \\ f''(x)=2

    e poi

    f\left(\frac{1}{5}\right)\simeq f(1)+f'(1)\left(\frac{1}{5}-1\right)=1+0\left(-\frac{4}{5}\right)=1

    mentre con lo sviluppo arrestato al secondo ordine troviamo

    \\ f\left(\frac{1}{5}\right)\simeq f(1)+f'(1)\left(\frac{1}{5}-1\right)+\frac{1}{2}f''(1)\left(1-\frac{1}{5}\right)^2=\\ \\ \\=1+0+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \left(\frac{16}{25}\right)=1+\frac{16}{25}=\frac{41}{25}

    Qual'è il valore esatto della funzione valutata in x=\frac{1}{5}\ ?

    f(x)=\left(\frac{1}{5}-1\right)^2+1=\frac{41}{25}

    L'approssimazione con Taylor al secondo ordine e la valutazione esatta della funzione coincidono. Come mai? È presto detto: f è una funzione polinomiale di grado due, il polinomio di Taylor arrestato all'ordine k è un polinomio di grado k.

    Se la funzione che sviluppiamo è un polinomio di grado k, il polinomio di Taylor arrestato all'ordine k fornisce una rappresentazione esatta e non solo approssimata della funzione polinomiale.

    Risposta di Omega
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