Soluzioni
  • Ciao Alessandro, arrivo a risponderti, e ti chiedo: conosci il metodo di riduzione a scala?

    Risposta di Omega
  • No, non la conosco :(

    Risposta di Alessandro
  • Se non conosci la riduzione a scala (che però è importantissima ed in questo genere di esercizi è il metodo più veloce per calcolare l'immagine dell'applicazione lineare! Sealed) ti conviene prima calcolare il nucleo dell'applicazione lineare, dedurne la dimensione e quindi attraverso il teorema della Nullità più Rango dedurre la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare e quindi una sua base, che la identifica interamente.

    Per determinare il nucleo Ker(T) dell'applicazione lineare T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 si calcolano le soluzioni del sistema lineare omogeneo definito dalla matrice rappresentativa dell'applicazione lineare, ovvero sia la matrice A. Proprio come hai detto tu: bisogna calcolare le soluzioni del sistema lineare omogeneo

    Ax=0

    Se hai già osservato che dim(Ker(T))=1 e hai trovato IL vettore che costituisce la base del nucleo, allora con il teorema della Nullità più Rango (o teorema della Dimensione) si ricava subito che

    dim(Im(T))=dim(\mathbb{R}^3)-dim(Ker(T))=3-1=2

    Quindi dobbiamo trovare due vettori che generano l'immagine e che siano linearmente indipendenti: essi formeranno infatti una base dell'immagine dell'applicazione lineare.

    L'immagine dell'applicazione lineare, d'altra parte, corrisponde al sottospazio generato dalle colonne della matrice A: ci basta trovare due colonne di A linearmente indipendenti e abbiamo una base dell'immagine.

    [una base di un sottopazio è infatti un sistema massimale di generatori linearmente indipendenti: trovare un numero di vettori linearmente indipendenti pari alla dimensione del sottospazio vuol dire proprio trovare una base del sottospazio].

    Sapresti trovare due colonne della matrice linearmente indipendenti?

    ---

    A proposito: lezione sul metodo per calcolare dimensione e base di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.

    ---

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Si possiamo dire allora Im f=L((-3,-3,-3),(-5,-9,-1)) giusto^

    per quanto riguarda il metodo ''della scala'' :) non mi conviene impararlo ad una settimana dall'esame :)

    Grazie Omega

    Risposta di Alessandro
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