Dominio, limiti e punti critici di una funzione di 4 grado

Vediamo un po' come esaudire uno ad uno tutti i punti richiesti dall'esercizio:  la funzione è

1 Determinarne il dominio e calcolare i limiti utili per capirne l’andamento

Il dominio di questa funzione, che è un polinomio di quarto grado, è tutto in quanto la funzione è definita su tutto l'asse reale. Per le regole per determinare il dominio di una funzione, puoi fare riferimento alla guida del link.

Qui la risposta alla domanda è secca perché la funzione non presenta alcun problema di definizione: è infatti una semplicissima somma di potenze di e non ci sono problemi a valutarla in un qualsiasi punto dell'asse reale.

Per il limiti agli estremi del dominio , dobbiamo solo calcolare

Questi limiti si calcolano velocemente perché è sufficiente considerare il termine del polinomio che genera l'infinito di ordine superiore, vale a dire . Per capire in pieno questo fatto ti consiglio questa lettura: ordini di infinito.

2 Determinarne eventuali punti critici e dire se sono punti di massimo o minimo relativo

Per determinare i punti critici, dobbiamo calcolare la derivata prima e studiare la monotonia della funzione mediante il segno della derivata prima. Abbiamo

Se risolviamo l'equazione , ossia troviamo come punti critici . Fatto ciò, dobbiamo studiare il segno della derivata prima risolvendo la disequazione

che ha soluzioni . In tali intervalli la funzione è crescente, sulle restanti parti del dominio è decrescente. Ne consegue che la funzione presenta in due minimi relativi e in un punto di massimo relativo.

Dato che la funzione tende a più infinito agli estremi del dominio, il massimo è solamente relativo e non assoluto; valutando la funzione, invece, nei punti di minimo relativo abbiamo

ed entrambi i punti sono quindi di minimo assoluto.

3 Studiare la concavità e la convessità della funzione

Qui bisogna procedere come nello studio dei punti critici, solo che bisogna lavorare sulla derivata seconda

ci sono due punti che annullano la derivata seconda:

mentre se studiamo il segno della derivata seconda

troviamo che essa è positiva per e per , intervalli in cui la funzione è convessa. Sulla restante parte del dominio, la funzione è concava.

Per tutte le regole per lo studio di funzione - click!

Namasté!