Soluzioni
  • Ciao Koccia123, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vediamo un po' come esaudire uno ad uno tutti i punti richiesti dall'esercizio: Wink la funzione è

    f(x) = x^4-2x^2+1

    1 Determinarne il dominio e calcolare i limiti utili per capirne l’andamento

    Il dominio di questa funzione, che è un polinomio di quarto grado, è tutto \mathbb{R} in quanto la funzione è definita su tutto l'asse reale. Per le regole per determinare il dominio di una funzione, puoi fare riferimento alla guida del link.

    Qui la risposta alla domanda è secca perché la funzione non presenta alcun problema di definizione: è infatti una semplicissima somma di potenze di x e non ci sono problemi a valutarla in un qualsiasi punto dell'asse reale.

    Per il limiti agli estremi del dominio Dom(f)=(-\infty,+\infty), dobbiamo solo calcolare

    \lim_{x\to -\infty}{(f(x))}=+\infty

    \lim_{x\to +\infty}{(f(x))}=+\infty

    Questi limiti si calcolano velocemente perché è sufficiente considerare il termine del polinomio che genera l'infinito di ordine superiore, vale a dire x^4. Per capire in pieno questo fatto ti consiglio questa lettura: ordini di infinito.

    2 Determinarne eventuali punti critici e dire se sono punti di massimo o minimo relativo

    Per determinare i punti critici, dobbiamo calcolare la derivata prima e studiare la monotonia della funzione mediante il segno della derivata prima. Abbiamo

    f'(x)=4x^3-4x

    Se risolviamo l'equazione f'(x)=0, ossia x(4x^2-4)=0 troviamo come punti critici x=0,x=\pm 1. Fatto ciò, dobbiamo studiare il segno della derivata prima risolvendo la disequazione

    f'(x)\geq 0

    che ha soluzioni -1\leq x\leq 0\vee x\geq +1. In tali intervalli la funzione f(x) è crescente, sulle restanti parti del dominio è decrescente. Ne consegue che la funzione presenta in x=\pm 1 due minimi relativi e in x=0 un punto di massimo relativo.

    Dato che la funzione tende a più infinito agli estremi del dominio, il massimo è solamente relativo e non assoluto; valutando la funzione, invece, nei punti di minimo relativo abbiamo

    f(-1)=0

    f(+1)=0

    ed entrambi i punti sono quindi di minimo assoluto.

    3 Studiare la concavità e la convessità della funzione

    Qui bisogna procedere come nello studio dei punti critici, solo che bisogna lavorare sulla derivata seconda

    f''(x)=12x^2-4

    ci sono due punti che annullano la derivata seconda:

    x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

    mentre se studiamo il segno della derivata seconda

    f''(x)\geq 0

    troviamo che essa è positiva per x\leq -1/\sqrt{3} e per x\geq 1/\sqrt{3}, intervalli in cui la funzione f(x) è convessa. Sulla restante parte del dominio, la funzione è concava.

    Per tutte le regole per lo studio di funzione - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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