Retta secante e tangente e rapporto incrementale

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Buongiorno, spero tanto che possiate aiutarmi a risolvere questo problema sul rapporto incrementale, che è di una prova d'esame. Soprattutto vorrei capire se è possibile passaggio per passaggio come si calcola il rapporto incrementale in questo caso. Il problema è: si consideri la funzione f(x) = (x - 1)^2 + 1

 

(a) Determinare il coefficiente angolare della retta secante che congiunge i punti (1; f(1)) e (1 + h; f(1 + h)), con h > 0 generico, del grafico della funzione f(x).

 

Dopo averne scritto l’equazione, tracciare la retta secante nel piano per h = 1, insieme al grafico di f.

 

(b) Determinare la derivata di f nel punto a = 1 tramite passaggio al limite. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f e tracciarla nel piano sopra insieme al grafico di f.

 

I Grafici non sono necessari...Grazie mille!! :)

Domanda di nike1290

 
Soluzioni

  • Ciao Nike1290, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Prendiamo la funzione

    y = (x-1)^2+1

    e calcoliamo l'equazione della retta passante per i due punti (1,f(1)) = (1,1) e (1+h,f(1+h)) = (1+h,h^2+1).

    Per determinarla è sufficiente ricorrere alla formula per il calcolo della retta passante per due punti

    (y-y_1)/(y_2-y_1) = (x-x_1)/(x_2-x_1)

    Sostituendo le coordinate nella formula si determina la retta di equazione

    (y-1)/(h^2) = (x-1)/(h)

    y-1 = (h^2)/(h)(x-1)

    y = h(x-1)+1

    Il coefficiente angolare qui è h, mentre la retta secante con h = 1 è data da

    y = x

    Per quanto riguarda il secondo punto, che cos'è a ? Intendi "nel punto x = 1" ?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • si si x=1.... quindi per il coefficiente della retta secante posso ricorrere a quella formula in ogni caso...grazie =) 

    Risposta di nike1290

  • Figurati! :)

    Per determinare la derivata di f(x) in x = 1, basta osservare che il coefficiente angolare della secante è proprio il rapporto incrementale della funzione calcolato rispetto al punto x = 1, quindi passando al limite troviamo proprio la derivata:

    lim_(h → 0)(h^2)/(h) = 0

    Dunque la derivata della funzione f(x) nel punto x = 1 è data da f'(1) = 0.

    La retta tangente è invece il limite delle rette secanti per h → 0, quindi troviamo semplicemente che

    y = 1

    è la retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • poi una curiosità sul grafico...per disegnarlo...devo sviluppare il binomio e trovare la parabola?...Devo inoltre trovare il vertice?...

    Risposta di nike1290

  • Puoi fare in un modo ancora più veloce, con il metodo del grafico intuitivo, di cui parliamo nella lezione del link.

    In pratica con banalissime considerazioni analitiche si riesce a disegnare il grafico in quattro e quattr'otto Wink Non sto qui a dirti come funziona il metodo, l'articolo lo spiega nel dettaglio, ma in sintesi ti basta osservare che in questo caso la funzione è composta da una traslazione orizzontale e da una traslazione verticale rispetto alla parabola di vertice (0,0).

    Puoi benissimo evitare di sviluppare il quadrato: però, se vuoi, puoi disegnare il grafico anche nel modo da te proposto, è solo un po' più scomodo...:)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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