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  • Ciao Alessandra89 arrivo! :D

    Risposta di Ifrit
  • \int_4^\infty \log(2+x)dx

    E' un integrale improprio di prima specie, in questo caso dobbiamo considerare:

    \lim_{M\to \infty}\int_4^M \log(2+x)dx

    A questo punto risolviamo l'integrale:

    Posto M>0 (maggiore di zero perché il limite è per più infinito)

    \int_4^M \log(2+x)dx

    e integriamo per parti, scegliendo come fattore finito 

    f(x)= \log(2+x)\implies f'(x)= \frac{1}{2+x}

    Mentre il fattore differenziale è:

    g'(x)= 1\implies g(x)=x

    Utilizzando la formula di integrazione per parti:

    \int f(x) g'(x)dx=  f(x) g(x)-\int f'(x) g(x) dx

    otteniamo

    \int_4^M \log(2+x)dx= [x\log(2+x)]_4^M-\int_4^M \frac{x}{2+x}dx=

    Adesso un trucco per semplificare l'ultimo integrale, aggiungiamo e sottraiamo 2, ed avremo

    M \log(2+M)-4\log(2+4)-\int_{4}^M\frac{x+2-2}{2+x}dx

    M \log(2+M)-4\log(2+4)-\int_{4}^M\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{2+x}dx

    M\log(2+M)-4\log(6)-\int_{4}^M 1dx+2\int_{4}^M \frac{1}{2+x}dx

    M \log(2+M)-4\log(6)-[x]_4^M +2[\log|2+x|]_4^M

    Infine:

    M \log(2+M)-4\log(6)-M+4+2\log|2+M|-2\log(6)

    sommando i termini simili:

    (M+2)\log(2+M)-6\log(6)+4-M

    A questo punto facciamo il limite per M che tende ad infinito ed otteniamo:

    \lim_{M\to \infty}(M+2)\log(2+M)-6\log(6)+4-M=

    Mettiamo in evidenza M

    \lim_{M\to \infty}M\left(\frac{(M+2)}{M}\log(2+M)-\frac{6\log(6)+4}{M}-1\right)=

    Quando M tende a più infinito

    \frac{M+2}{M}\to 1

    \log(2+M)\to \infty

    \frac{6\log(6)+4}{M}\to 0

    Di conseguenza il limite vale più infinito, cioè l'integrale diverge positivamente :)

    Risposta di Ifrit
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