invertibilità funzione definita su intervalli

Ciao H. Kobe, la funzione f(x) è definita a tratti. Non vedo i simboli di disuguaglianza ma credo, conoscendo questi esercizi, che gli intervalli siano

5-x     se x compreso tra zero e 3

9-x²     se x>3

Ti dico il ragionamento da seguire in questo caso, poi lo puoi adattare a qualsiasi funzione definita "a pezzi".

Prima di tutto, disegna la retta y= 5-x nella parte di piano che è compresa tra zero e 3, poi disegna la parabola y=9-x² a destra del punto x=3.

Fatto questo, disegna delle linee orizzontali qua e là e controlla:

• se c'è anche solo una retta che interseca il grafico in più di un punto, la funzione non è invertibile;
• se tutte le possibili rette intersecano la funzione in un solo punto o in nessuno, allora la funzione è invertibile.

Di come funziona questo metodo grafico ne parliamo in dettaglio nella lezione correlata.

Nel caso che stiamo considerando la funzione è invertibile, e per calcolarne l'inversa basta

- prendere le singole funzioni che la definiscono "a pezzi" nella forma y=.... e riscriverle mediante operazioni algebriche nella forma x=qualcosa_che_dipende_da_y.

Nel nostro caso

y=5-x    dà     x=5-y

y=9-x²     dà    x²=9-y. Calcolando la radice quadrata x=±RadiceQ(9-y) noi dobbiamo prendere solamente la radice con il +, perchè ci troviamo a destra di x=3.

- ora dobbiamo vedere su quali intervalli è definita la funzione inversa: per trovarli, basta guardare quali sono i valori delle y che assumono le due funzioni x=... iniziali

y=5-x assume valori [+2,+5] se x è compreso tra zero e 3.

y=9-x² assume valori compresi tra [-∞,0) se x è maggiore di 3.

Di conseguenza la funzione inversa è

x=

    +radiceQ(9-y)   se y è minore di zero

    5-y   se 2≤y≤5

Se hai dei dubbi, chiedi pure! 

Namasté - Agente Ω