Soluzioni
  • Ciao Alessandro, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per valutare la diagonalizzabilità della matrice, calcoliamone gli autovalori, cioè gli zeri del polinomio caratteristico

    det(A-\lambda I)=0

    Facendo i calcoli, si trova

    det(A-\lambda I)=(a-\lambda)^3-(a-\lambda)=(a-\lambda)[(a-\lambda)^2]-1=0

    Un autovalore quindi è proprio uguale ad a, mentre gli altri due autovalori sono dati dalle soluzioni dell'equazione

    (a-\lambda)^2-1=0

    cioè

    (a-\lambda)=\pm 1

    cioè

    \lambda=a\pm 1

    Se ne ricava che per ogni valore di a abbiamo tre autovalori distinti, quindi la matrice è sempre diagonalizzabile: infatti la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è pari alla dimensione della matrice e inoltre per ogni autovalore la molteplicità algebrica coinciderà necessariamente con la molteplicità geometrica.

    Infatti, basta osservare che in generale la molteplicità geometrica di un autovalore è positiva ed è minore o uguale della molteplicità algebrica dell'autovalore corrispondente.

    La segnatura è la terna del numero di autovalori negativi, positivi, o nulli. Direi che con queste premesse determinarla al variare di a\in\mathbb{R} è semplice..

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • tutto chiero, però potresti scriverla la segnatura? perche sugli appunti ce l'ho spiegata in modo diverso e solo vedendola posso capire grazie mille

    Risposta di Alessandro
  • Non c'è niente di complicato, l'esercizio è pressoché concluso. La segnatura è una terna di numeri che si definisce per le matrici simmetriche, in particolare è la terna di numeri data da

    (num.-autovalori-positivi,num.-autovalori-negativi,num.autovalori-nulli)

    Nell'esercizio a seconda del valore che assume a, essendo gli autovalori

    a-1,a,a+1

    si presentano varie possibilità: ad esempio, se a=0 abbiamo come autovalori

    -1,0,+1

    e la segnatura della matrice è data da (1,1,1).

    Devi solo distinguere in base ai valori di a, impostando credo quattro disequazioni, e contare il numero di autovalori positivi, negativi e nulli che hai in ciascun caso.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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