dimenticavo: come faccio a calcolare la periodicità di una funzione goniometrica elevata a potenza?
Se ho per esempio: sin(mx) so che il nuovo periodo sarà T= 2π/m, giusto? ma nel caso avessi un elevamento a potenza?
Ciao Fuivito, arrivo a risponderti...
Per la prima parte della tua (bella, mi piace!) domanda mi pare che non ci siano problemi, quindi senza ulteriori indugi passerei direttamente a questa:
"Se io non avessi raccolto il cos2x, ma avessi sviluppato il sin2x = 1-cos2x avrei ottenuto ∫(1/ 1+cos2x) dx."
potevo riuscire anche in questo caso a fare un ragionamento simile a quello che fa il libro? i punti di discontinuità di questa nuove funzione quali sarebbero?"
Si, avresti potuto farlo. Non bisogna porsi il problema di eventuali punti di discontinuità, perché la funzione a denominatore, nell'integranda, è sempre positiva. Morale: non ci sono discontinuità di seconda specie (e naturalmente né di prima né di terza).
Per ragionare in modo analogo rispetto al libro puoi osservare che il coseno è una funzione pari, e periodica, in particolare
assume su ![[0,π/2] U [3/2π,2π]](data:image/gif;base64,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)
gli stessi valori di 
su ![[π/2,3/2π]](data:image/gif;base64,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)
. Questo ci permette di restringere l'integrale dall'intervallo
![[0,2π]](data:image/gif;base64,R0lGODlhLQASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dJ6enhYWFra2tgQEBMzMzObm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAtABIAAATNEAAxiLw4682lGYMUXkRhFEd3nY6Qqtg4AodwIYlqMNISWDCRUCIAAj6qR070CA5ngSVNoVIYLo2AEyDrBRaXRIDnHDQBC0RgzaY+JWIw/Otk/CQOcAFAkF+6AHFhdEECe4E9Fg0agD5SB2NBBYcYDTwOjEMAAS98biolGzYTmVwXAlcSBTMcB6kAlASLm6UzNTdyCwNkYQ4HvwSYEggvURmAEiWynWKvEgpsayMMZxOdb05GWx3IMNrbG90dB7zg4Zqg5iojFN/qWx8DEQA7)
all'intervallo a patto di moltiplicarlo per 2, proprio per motivi di simmetria.---
Per quanto riguarda la domanda sulla potenza di una funzione periodica, il discorso è estremamente delicato ed è difficile trovare una regola generale...
---
Namasté!
quindi nel caso io ragionassi come ti ho proposto (sul cos al posto che sulla tang) non avrei un problema di discontinuità da risolvere ma semplicemente di simmetria! Giusto?
Ora mi serve capire un'altra cosa però:
Quando devo ragionare sulla discontinuità di una funzione e la seguente necessità di dividere l'integrale? Quando la mia frazione ha denominatore che si può annulare?
Inoltre quando devo intraprendere il ragionamento di dividere l'integrale? solo nel momento in cui mi accorgo che sostituendo gli estremi degli integrali mi risulta una valore nullo dell'integrale stesso?
Grazie!
Aspetta un attimo: a me non sembra proprio che la funzione integranda di partenza abbia alcuna discontinuità. Il tuo libro spezza l'integrale in due parti non per evitare una qualche discontinuità ma per semplificare il calcolo dell'integrale...
Altrimenti anche l'integrale con integranda scritta in modo equivalente avrebbe delle discontinuità.
Namasté!
un'altra cosa:
se come detto ragionassi sostituendo a sin2x= 1-cos2x otterrei un nuovo integrale:
∫2π0 (1/1+cos2x)dx = 4∫π/20 (1/1+cos2x)dx
se ora sostituissi cos2x=t mi ritroverei con questo nuovo integrale:
4∫10 [(1/(1-t2)1/2(1+t2)]dt
ora potrei fare quest'altra sostituzione, giusto?
t=Chy, (1-Ch2y)1/2= -Shy ; dt=Shy dy ; y=settCh (t) = log [y + (y2-1)1/2] -----> sostituendo gli estremi: y(0)=log (-1)1/2 che è IMPOSSIBILE!
Come mai non riesco a farla uscire?
Faccio molta fatica a leggere il testo che hai scritto
Comunque, prova con le formule parametriche per calcolare l'integrale..
Namasté!
ma scusa, la tangente non ha discontinuità in π/2?
non è per quello che mi suddivide in 2 integrali l'integrale di partenza?
Messa in questi termini ok, ora ho capito il succo della tua domanda. Io mi riferivo all'integrale di partenza, non a quello dopo la sostituzione. :) Con la sostituzione: sì, si spezza l'integrale nella somma di due integrali per eludere la discontinuità di terza specie generata dalla tangente.
Namasté!
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