Soluzioni
  • Ciao Matteo arrivo :D (sebbene la domanda sia diretta ad Omega :P )

    Risposta di Ifrit
  • è che per ora ho sempre ricevuto risposte da lui...ma sono ugualmente contento che tu possa rispondermi teWink

    Risposta di matteo
  • Dobbiamo determinare l'ordine di infinitesimo, in tal caso è necessario sviluppare la funzione in gioco con la formula di Taylor-McLaurin:

    e^\frac{\ln(1+x)}{x}-e=-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2)

    Pertanto:

    \lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e}{x^\alpha}=

    \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2)}{x^\alpha}

    A questo punto si ha che questo limite risulta finito e diverso da zero se e solo se \alpha=1

    Ti trovi?

    Risposta di Ifrit
  • non ho ben capito che sviliuppo hai fatto?

    Risposta di matteo
  • Ok! :D

    Per sviluppare la funzione 

    e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e

    Mettendo in evidenza e:

    e(e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1) 

    procedo in questo modo:

    \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

    Pertanto:

    \frac{\ln(1+x)}{x}= 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)

    (Nota abbiamo perso un ordine, siamo passati da un o(x^3) a un o(x^2), questo è dovuto alla divisione per x)

    Dallo sviluppo inoltre segue che:

    \frac{\ln(1+x)}{x}-1= -\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)

    (Tienilo a mente ci servira in seguito)

    Inoltre sappiamo che:

    e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)

    Da ciò segue che:

    e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}=

    =\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)+\frac{\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)^2}{2}+o(x^2)\right)

    = \left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{8}+o(x^2)\right)=

    =\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11x^2}{24}+o(x^2)\right)

    Possiamo concludere quindi che:

    e(e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1)=e-\frac{ex}{2}+\frac{11ex^2}{24}+o(x^2)-e=-\frac{ex}{2}+\frac{11ex^2}{24}+o(x^2)

    E' un po' più chiaro?

    Risposta di Ifrit
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