Calcolo dell'ordine di infinitesimo

Altro esercizio sul calcolo dell'ordine di infinitesimo trovato in un orale di analisi I: trovare l'ordine del seguente infinitesimo

$f(x)=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e$

per x->0. La prima parte può anche essere scritta come (1+x)^(1/x); io ho fatto il limite della funzione dividendola per x^a, ma non riesco a determinare a in modo che il limite mi torni un numero finito diverso da zero. Confido in voi!

In Uni - Analisi - Domanda di matteo

Soluzioni

Ciao Matteo arrivo :D (sebbene la domanda sia diretta ad Omega :P )

Risposta di Ifrit
è che per ora ho sempre ricevuto risposte da lui...ma sono ugualmente contento che tu possa rispondermi te

Risposta di matteo
Dobbiamo determinare l'ordine di infinitesimo, in tal caso è necessario sviluppare la funzione in gioco con la formula di Taylor-McLaurin:

$e^\frac{\ln(1+x)}{x}-e=-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2)$

Pertanto:

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e}{x^\alpha}=$

$\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}x^2+o(x^2)}{x^\alpha}$

A questo punto si ha che questo limite risulta finito e diverso da zero se e solo se $\alpha=1$ .

Ti trovi?

Risposta di Ifrit
non ho ben capito che sviliuppo hai fatto?

Risposta di matteo
Ok! :D

Per sviluppare la funzione

$e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}-e$

Mettendo in evidenza e:

$e(e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1)$

procedo in questo modo:

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

Pertanto:

$\frac{\ln(1+x)}{x}= 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$

(Nota abbiamo perso un ordine, siamo passati da un o(x^3) a un o(x^2), questo è dovuto alla divisione per x)

Dallo sviluppo inoltre segue che:

$\frac{\ln(1+x)}{x}-1= -\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$

(Tienilo a mente ci servira in seguito)

Inoltre sappiamo che:

$e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$

Da ciò segue che:

$e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}=$

$=\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)+\frac{\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)^2}{2}+o(x^2)\right)$

$= \left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{8}+o(x^2)\right)=$

$=\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11x^2}{24}+o(x^2)\right)$

Possiamo concludere quindi che:

$e(e^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1)=e-\frac{ex}{2}+\frac{11ex^2}{24}+o(x^2)-e=-\frac{ex}{2}+\frac{11ex^2}{24}+o(x^2)$

E' un po' più chiaro?

Risposta di Ifrit