Calcolo dell'ordine di infinitesimo

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Altro esercizio sul calcolo dell'ordine di infinitesimo trovato in un orale di analisi I: trovare l'ordine del seguente infinitesimo


f(x) = e^((ln(1+x))/(x))-e


per x->0. La prima parte può anche essere scritta come (1+x)^(1/x); io ho fatto il limite della funzione dividendola per x^a, ma non riesco a determinare a in modo che il limite mi torni un numero finito diverso da zero. Confido in voi!

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Ciao Matteo arrivo :D (sebbene la domanda sia diretta ad Omega :P )

    Risposta di Ifrit

  • è che per ora ho sempre ricevuto risposte da lui...ma sono ugualmente contento che tu possa rispondermi teWink

    Risposta di matteo

  • Dobbiamo determinare l'ordine di infinitesimo, in tal caso è necessario sviluppare la funzione in gioco con la formula di Taylor-McLaurin:

    e^(ln(1+x))/(x)-e = -(e)/(2)x+(11e)/(24)x^2+o(x^2)

    Pertanto:

    lim_(x → 0)(e^((ln(1+x))/(x))-e)/(x^α) =

    lim_(x → 0)(-(e)/(2)x+(11e)/(24)x^2+o(x^2))/(x^α)

    A questo punto si ha che questo limite risulta finito e diverso da zero se e solo se α = 1. 

    Ti trovi?

    Risposta di Ifrit

  • non ho ben capito che sviliuppo hai fatto?

    Risposta di matteo

  • Ok! :D

    Per sviluppare la funzione 

    e^((ln(1+x))/(x))-e

    Mettendo in evidenza e:

    e(e^((ln(1+x))/(x)-1)-1) 

    procedo in questo modo:

    ln(1+x) = x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)+o(x^3)

    Pertanto:

    (ln(1+x))/(x) = 1-(x)/(2)+(x^2)/(3)+o(x^2)

    (Nota abbiamo perso un ordine, siamo passati da un o(x^3) a un o(x^2), questo è dovuto alla divisione per x)

    Dallo sviluppo inoltre segue che:

    (ln(1+x))/(x)-1 = -(x)/(2)+(x^2)/(3)+o(x^2)

    (Tienilo a mente ci servira in seguito)

    Inoltre sappiamo che:

    e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+o(t^2)

    Da ciò segue che:

    e^((ln(1+x))/(x)-1) =

    = (1-(x)/(2)+(x^2)/(3)+o(x^2)+((-(x)/(2)+(x^2)/(3)+o(x^2))^2)/(2)+o(x^2))

    = (1-(x)/(2)+(x^2)/(3)+(x^2)/(8)+o(x^2)) =

    = (1-(x)/(2)+(11x^2)/(24)+o(x^2))

    Possiamo concludere quindi che:

    e(e^((ln(1+x))/(x)-1)-1) = e-(ex)/(2)+(11ex^2)/(24)+o(x^2)-e = -(ex)/(2)+(11ex^2)/(24)+o(x^2)

    E' un po' più chiaro?

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi