Integrale con funzioni goniometriche e radice

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Raga ho una domanda su un integrale goniometrico fratto con radice quadrata, più precisamente questo:

 

∫ [ sen(x) ] / [ cos(x) √(1+cos(x)) -2 ]dx

 

Sto provando a svolgere questo integrale, però non sto risolvendo più o meno nulla. Ho provato per sostituzione ponendo t=cos(x). Il libro suggerisce anche un'ulteriore sostituzione con y=√(1+cos(x)). Potreste aiutarmi? Grazie in anticipo.

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ok, dunque l'integrale è

    ∫(sin(x))/(√(1+cos(x))-2)dx

    la sostituzione del libro è molto efficace, infatti se integriamo per sostituzione e poniamo

    y = √(1+cos(x))

    otteniamo

    cos(x) = y^2-1

    e quindi passando ai differenziali

    -sin(x)dx = 2ydy

    Dobbiamo solamente sostituire tutto nell'integrale, che diventa

    -∫(2y)/(y-2)dy

    ossia per omogeneità dell'integrale

    -2∫(y)/(y-2)dy

    A questo punto sommiamo e sottraiamo un 2 a numeratore

    -2∫(y-2+2)/(y-2)dy

    e spezzando l'integrale nella somma di due integrali, il gioco è fatto

    -2∫dy-2∫(2)/(y-2)

    Il primo è banale, il secondo è un logaritmo. Ricordati di effettuare nuovamente la sostiuzione dopo aver integrato Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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