Integrale con funzioni goniometriche e radice

Raga ho una domanda su un integrale goniometrico fratto con radice quadrata, più precisamente questo:

 

∫ [ sen(x) ] / [ cos(x) √(1+cos(x)) -2 ]dx

 

Sto provando a svolgere questo integrale, però non sto risolvendo più o meno nulla. Ho provato per sostituzione ponendo t=cos(x). Il libro suggerisce anche un'ulteriore sostituzione con y=√(1+cos(x)). Potreste aiutarmi? Grazie in anticipo.

In Uni - Analisi - Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ok, dunque l'integrale è

    \int{\frac{\sin{(x)}}{\sqrt{1+\cos{(x)}}-2}dx}

    la sostituzione del libro è molto efficace, infatti se integriamo per sostituzione e poniamo

    y=\sqrt{1+\cos{(x)}}

    otteniamo

    \cos{(x)}=y^2-1

    e quindi passando ai differenziali

    -\sin{(x)}dx=2ydy

    Dobbiamo solamente sostituire tutto nell'integrale, che diventa

    -\int{\frac{2y}{y-2}dy}

    ossia per omogeneità dell'integrale

    -2\int{\frac{y}{y-2}dy}

    A questo punto sommiamo e sottraiamo un 2 a numeratore

    -2\int{\frac{y-2+2}{y-2}dy}

    e spezzando l'integrale nella somma di due integrali, il gioco è fatto

    -2\int{dy}-2\int{\frac{2}{y-2}}

    Il primo è banale, il secondo è un logaritmo. Ricordati di effettuare nuovamente la sostiuzione dopo aver integrato Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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