Esercizio su equazione omogenea in seno e coseno

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In classe il professore ci ha fatto un esempio sulle equazioni di secondo grado omogenee in seno e coseno, ma rivedendo gli appunti, non capisco i passaggi. Potreste aiutarmi a risolvere l'equazione usando le formule di duplicazione?

 

Risolvere la seguente equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno utilizzando le formule di duplicazione

 

cos^2(x)+3sin^2(x)-4sin(x)cos(x) = 0

 

Grazie.

Domanda di Rea

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado omogenea

    cos^2(x)+3sin^2(x)-4sin(x)cos(x) = 0

    possiamo avvalerci delle formule di duplicazione del coseno

    cos(2x) = 1-2sin^2(x) , cos(2x) = 2cos^2(x)-1

    mediante le quali possiamo esprimere i quadrati di seno e coseno di x in termini di cos(2x)

    sin^2(x) = (1-cos(2x))/(2) per ogni x∈R ; cos^2(x) = (1+cos(2x))/(2) per ogni x∈R

    La formula di duplicazione del seno consente inoltre di esprimere il termine 4sin(x)cos(x) in termini di sin(2x)

    4sin(x)cos(x) = 2·(2sin(x)cos(x)) = 2sin(2x) per ogni x∈R

    Grazie a tali relazioni, l'equazione

    cos^2(x)+3sin^2(x)-4sin(x)cos(x) = 0

    diventa

    (1+cos(2x))/(2)+3·(1-cos(2x))/(2)-2sin(2x) = 0

    Portiamo a denominatore comune il primo membro

    (1+cos(2x)+3(1-cos(2x))-4sin(2x))/(2) = 0

    e infine moltiplichiamo per 2 a destra e a sinistra

    1+cos(2x)+3-3cos(2x)-4sin(2x) = 0 ; 4sin(2x)+2cos(2x)-4 = 0

    Proprio perché i coefficienti numerici sono tutti numeri pari, possiamo dividere per 2 i due membri, riconducendoci così all'equazione lineare in seno e coseno

    2sin(2x)+cos(2x)-2 = 0

    Per ricavare le sue soluzioni, operiamo la sostituzione t = 2x

    2sin(t)+cos(t)-2 = 0

    dopodiché utilizziamo il metodo del passaggio al sistema, che consiste nel creare un sistema formato dall'equazione precedente e dall'identità fondamentale della goniometria:

    sin^2(t)+cos^2(t) = 1

    Il sistema associato è quindi

    2sin(t)+cos(t)-2 = 0 ; sin^2(t)+cos^2(t) = 1

    Semplifichiamo le notazioni operando le seguenti sostituzioni

    X = cos(t) , Y = sin(t)

    mediante le quali il sistema di equazioni diventa

    2Y+X-2 = 0 ; X^2+Y^2 = 1

    Dalla prima relazione esprimiamo X in funzione di Y

    X = 2-2Y ; X^2+Y^2 = 1

    dopodiché procediamo per sostituzione, rimpiazzando X con l'espressione ottenuta

    X = 2-2Y ; (2-2Y)^2+Y^2 = 1

    Occupiamoci della seconda equazione: sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i monomi simili

    X = 2-2Y ; 5Y^2-8Y+3 = 0

    A conti fatti la seconda relazione è un'equazione di secondo grado nell'incognita Y e con coefficienti

    a = 5 , b = -8 , c = 3

    Data la parità del coefficiente di Y, usiamo la formula del delta quarti

    (Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-4)^2-5·3 = 1

    per cui le soluzioni sono:

    Y_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (4±√(1))/(5) = (4±1)/(5) = (4-1)/(5) = (3)/(5) = Y_1 ; (4+1)/(5) = 1 = Y_2

    Una volta ricavati i valori di Y possiamo associare loro i valori di X sfruttando la prima equazione del sistema, ossia

    X = 2-2Y

    A Y = (3)/(5) associamo

    X = 2-2·(3)/(5) = (4)/(5)

    mentre a Y = 1 associamo

    X = 2-2·1 = 0

    Le coppie che soddisfano il sistema in X e Y sono quindi

    (X,Y) = ((4)/(5), (3)/(5)) e (X,Y) = (0, 1)

    che nel piano cartesiano rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

    X+2Y-2 = 0

    e la circonferenza goniometrica di equazione

    X^2+Y^2 = 1

    Dopo questo breve preambolo geometrico, associamo a ciascuna coppia il relativo sistema trigonometrico tenendo conto delle sostituzioni

    X = cos(t) , Y = sin(t)

    La coppia (X,Y) = (0,1) si traduce nel sistema

    cos(t) = 0 → t = (π)/(2)+2kπ ∨ t = (3π)/(2)+2kπ ; sin(t) = 1 → t = (π)/(2)+2kπ

    Le soluzioni comuni a entrambe le equazioni sono

    t = (π)/(2)+2kπ

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    La coppia (X,Y) = ((4)/(5), (3)/(5))

    consente di costruire il sistema

    cos(t) = (4)/(5) ; sin(t) = (3)/(5)

    In questo caso, gli angoli t per i quali il coseno vale (4)/(5) e il seno vale (3)/(5) non sono notevoli, dunque dobbiamo approcciarci in maniera leggermente diversa al problema.

    La strategia risolutiva prevede di dividere ordinatamente tra loro seno e coseno e i valori a essi associati

    (sin(t))/(cos(t)) = ((3)/(5))/((4)/(5))

    sfruttare la definizione di tangente e scrivere la frazione di frazioni in forma normale

    tan(t) = (3)/(4)

    Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica elementare, le cui soluzioni devono essere espresse con l'uso dell'arcotangente perché (3)/(4) non è un valore notevole della tangente.

    Attenzione! gli angoli t per i quali la tangente vale (3)/(4) sono

    t = arctan((3)/(4))+2kπ ∨ t = π+arctan((3)/(4))+2kπ

    però solo la prima famiglia è accettabile perché sono i valori che individuano il punto ((4)/(5),(3)/(5)) sulla circonferenza goniometrica, mentre la seconda individua il punto (-(4)/(5),-(3)/(5)).

    Facciamo il punto della situazione:

    - dal punto (X,Y) = (0,1) abbiamo ricavato

    t = (π)/(2)+2kπ con k∈Z

    - dal punto (X,Y) = ((4)/(5),(3)/(5)) abbiamo ricavato la famiglia

    t = arctan((3)/(4))+2kπ con k∈Z

    È giunto il momento di ripristinare l'incognita t ricordando la sostituzione t = 2x mediante la quale la relazione

    t = (π)/(2)+2kπ

    diventa

    2x = (π)/(2)+2kπ → x = (π)/(4)+kπ

    mentre la relazione

    t = arctan((3)/(4))+2kπ

    si traduce nella seguente equazione di primo grado nell'incognita x

    2x = arctan((3)/(4))+2kπ → x = (arctan((3)/(4)))/(2)+kπ

    al variare di k∈Z.

    In definitiva l'equazione goniometrica di secondo grado omogenea

    cos^2(x)+3sin^2(x)-4sin(x)cos(x) = 0

    è soddisfatta dalle famiglie di soluzioni

    x = (π)/(4)+kπ , x = (arctan((3)/(4)))/(2)+kπ

    al variare di k∈Z.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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