Soluzioni
  • Ciao Fuivito arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Iniziamo:

    f(x)=\sinh(x)\implies f'(x)=\cosh(x)

    g'(x)=\sinh(x)\implies g(x)=\cosh(x)

    Per la formula di integrazione per parti abbiamo:

    \int \sinh^2(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

    = \sinh(x)\cosh(x)-\int cosh^2(x)dx=

    Ora ricorda che:

    \cosh^2(x)= 1+\sinh^2(x)

    Sostituendo all'interno dell'integrale abbiamo:

    \int \sinh^2(x)dx=\sinh(x)\cosh(x)-\int 1+\sinh^2(x)dx=

    \int \sinh^2(x)dx= \sinh(x)\cosh(x)-x-\int \sinh^2(x)dx

    Portiamo al primo membro l'ultimo integrale e sommiamo:

    2\int \sinh^2(x)dx= -x+\sinh(x)\cosh(x)

    Dividiamo per 2 membro a membro:

    \int \sinh^2(x)dx= -\frac{x}{2}+\frac{\sinh(x)\cosh(x)}{2}+c

    Questo è un particolare esempio di integrali ricorsivi, comunque trovi tutto nella lezione del precedente link. :)

    Risposta di Ifrit
 
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