Soluzioni
  • Consideriamo l'integrale improprio con parametro

    \int_{0}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx

    e analizziamo per un momento la funzione integranda

    f(x)=x^{\alpha}e^{-x}

    Essa è una funzione continua sull'intervallo (0, +\infty) mentre ha un punto singolare per x=0, la cui classificazione avviene mediante il calcolo del limite parametrico:

    \lim_{x\to 0^{+}}x^{\alpha}e^{-x}

    Per \alpha>0 il limite è banalmente 0 perché la funzione esponenziale tende a 1, mentre il fattore x^{\alpha}\to 0.

    Per \alpha=0 il limite si riduce a \lim_{x\to 0^{+}}1\cdot e^{-x} e vale 1.

    Per \alpha<0, il limite è più infinito, perché il fattore e^{-x}\to 1 mentre x^{\alpha}\to +\infty.

    Per riassumere scriviamo

    \lim_{x\to 0^{+}}x^{\alpha}e^{-x}=\begin{cases}0&\mbox{ se }\alpha>0 \\ 1&\mbox{ se }\alpha=0 \\ +\infty&\mbox{ se }\alpha<0\end{cases}

    e dunque x=0 è un punto di discontinuità:

    - di terza specie (o eliminabile) se \alpha\ge 0;

    - di seconda specie se \alpha<0.

    Al fine di semplificare lo studio dell'integrale improprio fornito dalla traccia, è opportuno scriverlo come somma di due integrali:

    - un integrale improprio di seconda specie;

    - un integrale improprio di prima specie 

    \int_{0}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx=\int_{0}^{1}x^{\alpha}e^{-x}dx+\int_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx

    Poniamo, per semplicità di esposizione

    I=\int_{0}^{1}x^{\alpha}e^{-x}dx \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ J=\int_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx

    e studiamo separatamente la convergenza dei due integrali.

    L'integrale I può essere studiato mediante il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie, osserviamo infatti che per x\to 0 sussiste la seguente equivalenza asintotica:

    x^{\alpha}e^{-x}\sim_{x\to 0}x^{\alpha}

    Poiché l'integrale improprio di seconda specie associato a x^{\alpha} converge se e solo se \alpha>-1 (è un integrale improprio fondamentale) allora per il criterio del confronto asintotico converge anche I, a patto che \alpha>-1.

    L'integrale improprio J converge indipendentemente dal valore di \alpha e lo si evince dal fatto che l'integranda può essere maggiorata definitivamente dalla funzione h(x)=\frac{1}{x^{2}}, ossia sussiste la disuguaglianza

    x^{\alpha}e^{-x}\le \frac{1}{x^2}\mbox{ definitivamente per }x\to +\infty

    Come si può giustificare questa disuguaglianza? Osservando semplicemente che il seguente limite è zero:

    \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{\alpha}e^{-x}}{\frac{1}{x^{2}}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}x^{\alpha+2}e^{-x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{\alpha+2}}{e^{x}}=0

    indipendentemente dal valore di \alpha giacché la funzione esponenziale al denominatore è un infinito di ordine superiore ad ogni potenza.

    Poiché il limite è 0 esisterà un intorno di +\infty in cui il rapporto

    \frac{x^{\alpha}e^{-x}}{\frac{1}{x^{2}}}<1

    e dunque

    x^{\alpha}e^{-x}<\frac{1}{x^{2}}\mbox{ nell'intorno di }+\infty

    Il teorema del confronto per integrali impropri ci permette di concludere che J converge perché maggiorato da

    \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx

    che è un integrale improprio notevole convergente.

    In definitiva, l'integrale di partenza converge se e solo se \alpha>-1, perché somma di integrali convergenti.

    Risposta di Ifrit
 
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