Soluzioni
  • La formula di Erone permette di calcolare l'area di un triangolo di cui sono note le misure dei lati.

    Indichiamo con a,b,c le misure dei lati di un triangolo qualsiasi e sia p il suo semiperimetro

    p=\frac{a+b+c}{2}

    La formula di Erone stabilisce che l'area del triangolo è pari alla radice quadrata del semiperimetro per la differenza tra il semiperimetro e il primo lato, moltiplicato per la differenza tra il semiperimetro e il secondo lato, moltiplicato per la differenza tra il semiperimetro e il terzo lato.

    In formule:

    S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    Esempio di applicazione della formula di Erone

    A titolo di esempio risolviamo il seguente problema applicando la formula di Erone: determinare l'area di un triangolo i cui lati misurano 20, 25 e 15 centimetri.

    Svolgimento: chiamiamo a,b,c le misure dei lati

    a=15 \mbox{ cm} \ \ ; \ \ b=20 \mbox{ cm} \ \ ; \ \ c=25 \mbox{ cm}

    Calcoliamo il semiperimetro del triangolo dividendo per 2 la somma delle misure dei lati

    \\ p=\frac{a+b+c}{2} = \frac{15 \mbox{ cm} + 20 \mbox{ cm} + 25 \mbox{ cm}}{2} = \\ \\ \\ = \frac{60 \mbox{ cm}}{2} = 30 \mbox{ cm}

    e applichiamo la formula di Erone

    \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\ \\ =\sqrt{(30 \mbox{ cm}) \times (30 \mbox{ cm} - 15 \mbox{ cm}) \times (30 \mbox{ cm} - 20 \mbox{ cm}) \times (30 \mbox{ cm} - 25 \mbox{ cm})} = \\ \\ = \sqrt{(30 \mbox{ cm}) \times (15 \mbox{ cm}) \times (10 \mbox{ cm}) \times (5 \mbox{ cm})} = \\ \\ = \sqrt{22500 \mbox{ cm}^4} = 150 \mbox{ cm}^2

    Abbiamo finito! L'area del triangolo è di 150 centimetri quadrati.

    Dimostrazione della formula di Erone

    Per chi fosse interessato riportiamo due dimostrazioni della formula di Erone. Vi anticipiamo che sono entrambe piuttosto calcolotiche e che differiscono solo nella parte iniziale: nella prima si ricorre al teorema di Pitagora, mentre la seconda fa uso della Trigonometria.

    Dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora

    Disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo a,b,c i lati e rappresentiamo l'altezza h relativa alla base.

     

    Formula di Erone

    Dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora.

     

    L'altezza divide la base in due parti; detta d una delle due, la parte restante è c-d.

    Cerchiamo di esprimere l'altezza h in funzione di a,b,c.

    Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di lati a, h, d

    d^2=a^2-h^2

    pertanto

    d=\sqrt{a^2-h^2}

    Proseguiamo applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di lati h, b, c-d

    \\ h^2=b^2-(c-d)^2=

    applichiamo la regola per il quadrato di binomio

    = b^2- (c^2-2cd+d^2) = \\ \\ = b^2-c^2-d^2+2cd

    ossia

    h^2 = b^2-c^2-d^2+2cd

    In quest'ultima relazione sostituiamo d^2=a^2-h^2\ ;\ d=\sqrt{a^2-h^2}

    \\ h^2 = b^2-c^2-(a^2-h^2)+2c\sqrt{a^2-h^2} \\ \\ h^2 = b^2-c^2-a^2+h^2+2c\sqrt{a^2-h^2}

    Sommiamo i termini simili e isoliamo la radice quadrata

    \sqrt{a^2-h^2}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}

    Eleviamo entrambi i membri al quadrato

    a^2-h^2=\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4c^2}

    e con qualche altro semplice passaggio ricaviamo il valore di h in funzione di a,b,c

    h=\sqrt{a^2-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4c^2}}

    Ricordiamo ora che l'area di un triangolo è uguale al semiprodotto tra le misure della base e della altezza relativa a essa

    S=\frac{c \times h}{2}

    Riscriviamo la formula dell'area come

    S=\frac{c}{2}\times h

    e sostituiamo h con l'espressione ricavata in precedenza

    S=\frac{c}{2}\times \sqrt{a^2-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4c^2}}

    Portiamo \frac{c}{2} sotto il segno di radice

    S=\sqrt{\frac{c^2}{4}\left(a^2-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4c^2}\right)}

    e svolgiamo il prodotto

    S=\sqrt{\frac{a^2c^2}{4}-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{16}} \ \ (\bullet)

    Riscriviamo il radicando come differenza di quadrati

    S=\sqrt{\left(\frac{ac}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{4}\right)^2}

    e scomponiamola come prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei quadrati

    S=\sqrt{\left(\frac{ac}{2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4}\right) \left(\frac{ac}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{4}\right)}

    In ciascun fattore del radicando calcoliamo il denominatore comune

    S=\sqrt{\left(\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{4}\right) \left(\frac{2ac-a^2-c^2+b^2)}{4}\right)}

    e riordiniamo con lo scopo di mettere in evidenza lo sviluppo di due quadrati di binomio

    S=\sqrt{\left(\frac{(a^2+2ac+c^2)-b^2}{4}\right) \left(\frac{b^2-(a^2-2ac+c^2)}{4}\right)}

    così da ottenere

    S=\sqrt{\left(\frac{(a+c)^2-b^2}{4}\right) \left(\frac{b^2-(a-c)^2}{4}\right)}

    Riscriviamo ogni fattore del radicando come differenza di quadrati

    S=\sqrt{\left[\left(\frac{a+c}{2}\right)^2 -\left(\frac{b}{2}\right)^2\right] \left[\left(\frac{b}{2}\right)^2 -\left(\frac{a-c}{2}\right)^2\right]}

    e scomponiamole

    S=\sqrt{\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}-\frac{b}{2}\right)\left(\frac{b}{2}+\frac{a-c}{2}\right)\left(\frac{b}{2}-\frac{a-c}{2}\right)}

    Svolgiamo le operazioni in ciascuno dei quattro fattori

    S=\sqrt{\left(\frac{a+c+b}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{b+a-c}{2}\right)\left(\frac{b-a+c}{2}\right)} \ (*)

    e osserviamo che

    \\ \frac{a+c+b}{2}=\frac{a+b+c}{2}=p \\ \\ \\ \frac{a+c-b}{2} = \frac{a+b+c-2b}{2}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{2b}{2}=p-b \\ \\ \\ \frac{b+a-c}{2} = \frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{2c}{2}=p-c \\ \\ \\ \frac{b-a+c}{2} = \frac{a+b+c-2a}{2}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{2a}{2}=p-a

    Sostituendo il tutto nella relazione (*) e applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione giungiamo finalmente alla formula di Erone

    S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    il che conclude la dimostrazione.

    Dimostrazione della formula di Erone con la Trigonometria

    Disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo a,b,c i lati e siano h l'altezza relativa alla base e \beta l'angolo interno opposto a b.

     

    Dimostrazione trigonometrica della formula di Erone

    Dimostrazione trigonometrica della formula di Erone.

     

    Dal teorema di Carnot sappiamo che il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi

    b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)

    Esplicitiamola in favore di \cos(\beta)

    \cos(\beta)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\ \ (*)

    Teniamo da parte quest'ultima relazione; scriviamo quindi la relazione fondamentale della Trigonometria

    \sin^2(\beta)+\cos^2(\beta)=1

    esplicitiamola in favore di \sin(\beta), ricordando che nel nostro caso il seno deve essere positivo

    \sin(\beta)=\sqrt{1-\cos^2(\beta)} =

    e sostituiamo in essa l'espressione data da (*)

    = \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{1-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2}} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2}}\ \ (**)

    L'area di un triangolo è pari al semiprodotto tra le misure di base e altezza, dunque

    S=\frac{c \times h}{2}

    Focalizziamo l'attenzione sul triangolo rettangolo di ipotenusa a e cateto h. Per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo scrivere h come prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto

    h=a \sin(\beta)

    Sostituiamo nella formula dell'area

    S=\frac{c \times h}{2} = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)

    per poi sostituire \sin(\beta) con l'espressione (**)

    \\ S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta) = \\ \\ = \frac{1}{2}ac\sqrt{\frac{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2}}

    Portiamo \frac{1}{2}ac sotto il segno di radice

    S=\sqrt{\frac{1}{4}a^2c^2 \left(\frac{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2}\right)}

    Svolgiamo il prodotto

    S=\sqrt{\frac{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{16}}

    e riscriviamo il radicando come differenza

    S=\sqrt{\frac{4a^2c^2}{16}-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{16}}= \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{a^2c^2}{4}-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{16}}

    Ci siamo così ricondotti alla formula (\bullet) della dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora, e da qui in poi si procede allo stesso identico modo.

    ***

    Per chiudere vi segnaliamo la lezione riepilogativa sul triangolo, dove potete fare un ripasso di tutte le formule. ;)

    Risposta di Galois
 
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