Dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora.
L'altezza divide la base in due parti; detta una delle due, la parte restante è
.
Cerchiamo di esprimere l'altezza in funzione di
.
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di lati
pertanto
Proseguiamo applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di lati
applichiamo la regola per il quadrato di binomio
ossia
In quest'ultima relazione sostituiamo
Sommiamo i termini simili e isoliamo la radice quadrata
Eleviamo entrambi i membri al quadrato
e con qualche altro semplice passaggio ricaviamo il valore di in funzione di
Ricordiamo ora che l'area di un triangolo è uguale al semiprodotto tra le misure della base e della altezza relativa a essa
Riscriviamo la formula dell'area come
e sostituiamo con l'espressione ricavata in precedenza
Portiamo sotto il segno di radice
e svolgiamo il prodotto
Riscriviamo il radicando come differenza di quadrati
e scomponiamola come prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei quadrati
In ciascun fattore del radicando calcoliamo il denominatore comune
e riordiniamo con lo scopo di mettere in evidenza lo sviluppo di due quadrati di binomio
così da ottenere
Riscriviamo ogni fattore del radicando come differenza di quadrati
e scomponiamole
Svolgiamo le operazioni in ciascuno dei quattro fattori
e osserviamo che
Sostituendo il tutto nella relazione e applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione giungiamo finalmente alla formula di Erone
il che conclude la dimostrazione.
Dimostrazione della formula di Erone con la Trigonometria
Disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo i lati e siano
l'altezza relativa alla base e
l'angolo interno opposto a
.
Dimostrazione trigonometrica della formula di Erone.
Dal teorema di Carnot sappiamo che il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi
Esplicitiamola in favore di
Teniamo da parte quest'ultima relazione; scriviamo quindi la relazione fondamentale della Trigonometria
esplicitiamola in favore di , ricordando che nel nostro caso il seno deve essere positivo
e sostituiamo in essa l'espressione data da
L'area di un triangolo è pari al semiprodotto tra le misure di base e altezza, dunque
Focalizziamo l'attenzione sul triangolo rettangolo di ipotenusa e cateto
. Per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo scrivere
come prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto
Sostituiamo nella formula dell'area
per poi sostituire con l'espressione
Portiamo sotto il segno di radice
Svolgiamo il prodotto
e riscriviamo il radicando come differenza
Ci siamo così ricondotti alla formula della dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora, e da qui in poi si procede allo stesso identico modo.
***
Per chiudere vi segnaliamo la lezione riepilogativa sul triangolo, dove potete fare un ripasso di tutte le formule. ;)
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