La formula di Erone permette di calcolare l'area di un triangolo di cui sono note le misure dei lati.
Indichiamo con
le misure dei lati di un triangolo qualsiasi e sia
il suo semiperimetro
La formula di Erone stabilisce che l'area del triangolo è pari alla radice quadrata del semiperimetro per la differenza tra il semiperimetro e il primo lato, moltiplicato per la differenza tra il semiperimetro e il secondo lato, moltiplicato per la differenza tra il semiperimetro e il terzo lato.
In formule:
Esempio di applicazione della formula di Erone
A titolo di esempio risolviamo il seguente problema applicando la formula di Erone: determinare l'area di un triangolo i cui lati misurano 20, 25 e 15 centimetri.
Svolgimento: chiamiamo
le misure dei lati
Calcoliamo il semiperimetro del triangolo dividendo per 2 la somma delle misure dei lati
e applichiamo la formula di Erone
Abbiamo finito! L'area del triangolo è di 150 centimetri quadrati.
Dimostrazione della formula di Erone
Per chi fosse interessato riportiamo due dimostrazioni della formula di Erone. Vi anticipiamo che sono entrambe piuttosto calcolotiche e che differiscono solo nella parte iniziale: nella prima si ricorre al teorema di Pitagora, mentre la seconda fa uso della Trigonometria.
Dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora
Disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo
i lati e rappresentiamo l'altezza
relativa alla base.
Dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora.
L'altezza divide la base in due parti; detta
una delle due, la parte restante è
.
Cerchiamo di esprimere l'altezza
in funzione di
.
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di lati
pertanto
Proseguiamo applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di lati
applichiamo la regola per il quadrato di binomio
ossia
In quest'ultima relazione sostituiamo
Sommiamo i termini simili e isoliamo la radice quadrata
Eleviamo entrambi i membri al quadrato
e con qualche altro semplice passaggio ricaviamo il valore di
in funzione di
Ricordiamo ora che l'area di un triangolo è uguale al semiprodotto tra le misure della base e della altezza relativa a essa
Riscriviamo la formula dell'area come
e sostituiamo
con l'espressione ricavata in precedenza
Portiamo
sotto il segno di radice
e svolgiamo il prodotto
Riscriviamo il radicando come differenza di quadrati
e scomponiamola come prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei quadrati
In ciascun fattore del radicando calcoliamo il denominatore comune
e riordiniamo con lo scopo di mettere in evidenza lo sviluppo di due quadrati di binomio
così da ottenere
Riscriviamo ogni fattore del radicando come differenza di quadrati
e scomponiamole
Svolgiamo le operazioni in ciascuno dei quattro fattori
e osserviamo che
Sostituendo il tutto nella relazione
e applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione giungiamo finalmente alla formula di Erone
il che conclude la dimostrazione.
Dimostrazione della formula di Erone con la Trigonometria
Disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo
i lati e siano
l'altezza relativa alla base e
l'angolo interno opposto a
.
Dimostrazione trigonometrica della formula di Erone.
Dal teorema di Carnot sappiamo che il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra essi
Esplicitiamola in favore di
Teniamo da parte quest'ultima relazione; scriviamo quindi la relazione fondamentale della Trigonometria
esplicitiamola in favore di
, ricordando che nel nostro caso il seno deve essere positivo
e sostituiamo in essa l'espressione data da
L'area di un triangolo è pari al semiprodotto tra le misure di base e altezza, dunque
Focalizziamo l'attenzione sul triangolo rettangolo di ipotenusa
e cateto
. Per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo scrivere
come prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto
Sostituiamo nella formula dell'area
per poi sostituire
con l'espressione
Portiamo
sotto il segno di radice
Svolgiamo il prodotto
e riscriviamo il radicando come differenza
Ci siamo così ricondotti alla formula
della dimostrazione della formula di Erone con il teorema di Pitagora, e da qui in poi si procede allo stesso identico modo.
***
Per chiudere vi segnaliamo la lezione riepilogativa sul triangolo, dove potete fare un ripasso di tutte le formule. ;)
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