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  • Inoltre il prof mi ha deto che un prodotto scalare è definito positivo se e solo se la matrice associata è definita positiva, e cio implica che tutti i coefficenti devono essere positivi

    Il prof ha detto una fesseria?

    Risposta di xavier310
  • Cioè io pensavo che bastava controllare che gli autovalori fossero tutti positivi, invece non è così!

    Risposta di xavier310
  • Ciao Xavier, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per quanto riguarda i prodotti scalari, è solamente questione di mettersi d'accordo prima sulle definizioni: un prodotto scalare si può intendere implicitamente definito positivo oppure no.

    E' una questione di scelta da chiarire sin da subito. Parliamo qui nel caso generale e con prodotto scalare intendiamo una forma bilineare, simmetrica, definita su uno spazio vettoriale V a valori in \mathbb{R}.

    Nel caso in cui per il prodotto scalare non sottintenda la definita positività, che poi nient'altro è se non la proprietà per la quale per ogni x\in V risulta

    (x,x)> 0\mbox{ se }x\neq 0\mbox{ ; }(x,x)=0\mbox{ se e solo se }x=0

    allora possiamo parlare di prodotti scalari definiti negativi

    (x,x)< 0\mbox{ se }x\neq 0\mbox{ ; }(x,x)=0\mbox{ se e solo se }x=0

    semidefiniti positivi

    (x,x)\geq 0\mbox{ }\forall x\in V

    e semidefiniti negativi

    (x,x)\leq 0\mbox{ }\forall x\in V

    In tutti questi casi per controllare la definita/semidefinita positività/negatività si può eccome fare riferimento alla matrice associata al prodotto scalare e considerarne gli autovalori: a seconda che siano tutti positivi/tutti negativi/positivi o nulli/negativi o nulli si ha a che fare, rispettivamente con uno dei quattro precedenti tipi di prodotto scalare.

    Se invece sono presenti autovalori di segni diversi, il prodotto scalare si dice indefinito.

    Ti trovi con tutto ciò?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • E con ciò che ha detto il prof, cioè:

    inoltre il prof mi ha deto che un prodotto scalare è definito positivo se e solo se la matrice associata è definita positiva, e cio implica che tutti i coefficenti devono essere positivi.

    Cioè io pensavo che bastava controllare che gli autovalori fossero tutti positivi come hai detto tu Omega.

    Un'altra piccola cosa collegata a ciò: inoltre gli autovalori sono positivi o negativi a secondo se si sceglie il la matrice \lambda I-A o A-\lambda I, quindi come regolarsi?

     

    Risposta di xavier310
  • Sicuro che il professore si sia espresso proprio così? Non credo, perché è ssufficiente che gli autovalori siano, ad esempio nel caso della definita positività, tutti positivi.

    Ad esempio, considera la matrice 

    A=\left{\begin{matrix}1&-1\\ 0&1\end{matrix}\right}

    che ha autovalori \{1,1\}, e che è definita positiva. Per vederlo, puoi verificarlo mediante la definizione, e considerare il prodotto scalare che essa rappresenta rispetto alla base canonica. Troverai che il prodotto di un vettore con sé stesso mediante il prodotto scalare definito dalla precedente matrice è sempre positivo (tranne che nel caso del vettore identicamente nullo).

    Per quanto riguarda il calcolo degli autovalori, mica vero: il segno degli autovalori non cambia affatto prendendo det(\lambda I-A)=0 oppure det(A-\lambda I)=0. Sarebbe, in caso contrario, una definizione un po' deboluccia per gli autovalori...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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