Soluzioni
  • Ciao! il limite da risolvere è:

    \lim_{x\to 1}\frac{e^{-\frac{1}{2}}\cos(x-1)-e^{\frac{x^2-2x}{2}}}{\sin(x-1)\arctan(x-1)}

    Eseguendo un'indagine preliminare ci si accorge che siamo di fronte ad una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] e parlando chiaro, il teorema di De l'Hopital è davvero poco comodo in questa situazione.

    Risolveremo invece questo limite con l'utilizzo di uno stratagemma algebrico.

    Aggiungiamo e sottraiamo \frac{1}{2} all'esponente così da completare il quadrato di binomio.

    \lim_{x\to 1}\frac{e^{-\frac{1}{2}}\cos(x-1)-e^{\frac{x^2-2x+1}{2}-\frac{1}{2}}}{\sin(x-1)\arctan(x-1)}

    Ora

    x^2-2x+1= (x-1)^2

    dunque il limite diventerà

    \lim_{x\to 1}\frac{e^{-\frac{1}{2}}\cos(x-1)-e^{\frac{(x-1)^2}{2}-\frac{1}{2}}}{\sin(x-1)\arctan(x-1)}

    Al numeratore raccogliamo e^{-\frac{1}{2}}

    \lim_{x\to 1}\frac{e^{-\frac{1}{2}}(\cos(x-1)-e^{\frac{(x-1)^2}{2}})}{\sin(x-1)\arctan(x-1)}

    Possiamo pensare di utilizzare la sostituzione t=x-1 e osservare che quando x tende a 1, la variabile t tende a zero, in tal modo il limite diventa:

    \lim_{t\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{2}}(\cos(t)-e^{\frac{t^2}{2}})}{\sin(t)\arctan(t)}

    Facciamo intervenire la formula di Taylor, il quale ci assicura che per t che tende a zero valgono le relazioni:

    \bullet\,\, \cos(t)=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

    \bullet\,\, e^{\frac{t^2}{2}}=1+\frac{t^2}{2}+o(t^2)

    \bullet\,\, \sin(t)=t+o(t)

    \bullet\,\,\arctan(t)=t+o(t)

    Sostituiamo le espressioni trovate nel limite:

    \lim_{t\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{2}}(1-\frac{t^2}{2}-1-\frac{t^2}{2}+o(t^2))}{(t+o(t))(t+o(t))}=

    Per le proprietà degli o-piccoli:

    (t+o(t))(t+o(t))= t^2+t o(t)+o(t^2)= t^2+o(t^2)

    e dunque:

    \lim_{t\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{2}}(-t^2+o(t^2))}{t^2+o(t^2)}=\lim_{t\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{2}}(-t^2)}{t^2}= - e^{-\frac{1}{2}}

    Il limite è concluso.

    Risposta di Omega
  • Grazie 1000!

    Risposta di Ihsahn666
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