Limite difficile senza usare de l'Hopital

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Ragazzi ho molte difficoltà con questo limite che devo calcolare senza l'uso di de l'Hopital, perlomeno così chiede la traccia.

 

lim_(x → 1)(e^(-(1)/(2))cos(x-1)-e^((x^2-2x)/(2)))/(sin(x-1)arctan(x-1))

 

Un bestione di questo tipo come si può risolvere? Grazie in anticipo ragazzi!

Domanda di Ihsahn666

 
Soluzioni

  • Ciao! il limite da risolvere è:

    lim_(x → 1)(e^(-(1)/(2))cos(x-1)-e^((x^2-2x)/(2)))/(sin(x-1)arctan(x-1))

    Eseguendo un'indagine preliminare ci si accorge che siamo di fronte ad una forma indeterminata [(0)/(0)] e parlando chiaro, il teorema di De l'Hopital è davvero poco comodo in questa situazione.

    Risolveremo invece questo limite con l'utilizzo di uno stratagemma algebrico.

    Aggiungiamo e sottraiamo (1)/(2) all'esponente così da completare il quadrato di binomio.

    lim_(x → 1)(e^(-(1)/(2))cos(x-1)-e^((x^2-2x+1)/(2)-(1)/(2)))/(sin(x-1)arctan(x-1))

    Ora

    x^2-2x+1 = (x-1)^2

    dunque il limite diventerà

    lim_(x → 1)(e^(-(1)/(2))cos(x-1)-e^(((x-1)^2)/(2)-(1)/(2)))/(sin(x-1)arctan(x-1))

    Al numeratore raccogliamo e^(-(1)/(2))

    lim_(x → 1)(e^(-(1)/(2))(cos(x-1)-e^(((x-1)^2)/(2))))/(sin(x-1)arctan(x-1))

    Possiamo pensare di utilizzare la sostituzione t = x-1 e osservare che quando x tende a 1, la variabile t tende a zero, in tal modo il limite diventa:

    lim_(t → 0)(e^(-(1)/(2))(cos(t)-e^((t^2)/(2))))/(sin(t)arctan(t))

    Facciamo intervenire la formula di Taylor, il quale ci assicura che per t che tende a zero valgono le relazioni:

    • , , cos(t) = 1-(t^2)/(2)+o(t^2)

    • , , e^((t^2)/(2)) = 1+(t^2)/(2)+o(t^2)

    • , , sin(t) = t+o(t)

    • , ,arctan(t) = t+o(t)

    Sostituiamo le espressioni trovate nel limite:

    lim_(t → 0)(e^(-(1)/(2))(1-(t^2)/(2)-1-(t^2)/(2)+o(t^2)))/((t+o(t))(t+o(t))) =

    Per le proprietà degli o-piccoli:

    (t+o(t))(t+o(t)) = t^2+t o(t)+o(t^2) = t^2+o(t^2)

    e dunque:

    lim_(t → 0)(e^(-(1)/(2))(-t^2+o(t^2)))/(t^2+o(t^2)) = lim_(t → 0)(e^(-(1)/(2))(-t^2))/(t^2) = -e^(-(1)/(2))

    Il limite è concluso.

    Risposta di Omega

  • Grazie 1000!

    Risposta di Ihsahn666
 
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