Soluzioni
  • La regola del parallelogramma permette di individuare graficamente la somma o la differenza di due qualsiasi vettori del piano o dello spazio euclideo. Avendo la situazione grafica sotto mano sarà poi un gioco da ragazzi trovare anche direzione, modulo e verso del vettore somma o del vettore differenza.

    Dati due vettori u e v dello spazio euclideo esistono due varianti della regola del parallelogramma che permettono di ricavare graficamente il vettore somma u+v e il vettore differenza u-v; qui di seguito spiegheremo dapprima i vari passaggi da seguire per poi proporre un'immagine che vi farà cogliere differenze e analogie tra i due metodi.

    Prima variante della regola del parallelogramma

    - Con una traslazione facciamo in modo che le origini dei due vettori u e v coincidano;

    - costruiamo poi un parallelogramma avente come lati i due vettori;

    - il vettore somma u+v sarà la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune;

    - il vettore differenza u-v è invece l'altra diagonale del parallelogramma ed avrà come origine la punta del secondo vettore.

    Seconda variante della regola del parallelogramma

    - Trasliamo il vettore v in modo che la sua origine coincida con la punta del vettore u;

    - disegniamo il parallelogramma avente per lati i vettori u e v;

    - il vettore somma u+v è la diagonale del parallelogramma che unisce l'origine di u con la punta di v

    - il vettore differenza u-v corrisponde all'altra diagonale del parallelogramma ed ha la punta coincidente con l'origine del secondo vettore.

     

    Regola del parallelogramma

    Regola del parallelogramma per somma e differenza di vettori.

     

    Come si può osservare nell'immagine precedente, da un punto di vista grafico la differenza tra i due metodi consiste nella scelta della posizione iniziale dei due vettori u e v, ma direzione, modulo e verso dei vettori somma e differenza rimangono inalterati.

    La seconda variante della regola del parallelogramma che permette di ricavare la somma tra vettori è detta metodo punta coda.

    Regola del parallelogramma: formula

    Come abbiamo visto, con la regola del parallelogramma è possibile individuare graficamente la somma e la differenza tra due vettori u e v.

    Se poi è nota anche l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori si può determinare anche l'intensità del vettore somma e del vettore differenza ricorrendo al teorema di Carnot.

    Senza dilungarci in noiose e lunghe spiegazioni teoriche vediamone un esempio.

    Esempio sulla regola del parallelogramma

    Siano u e v due vettori aventi l'origine in comune e tali da formare un angolo di 60°; supponiamo che u abbia norma 5 e che la norma di v sia uguale a 4. Determinare la norma del vettore somma u+v e del vettore differenza u-v.

    Svolgimento: innanzitutto rappresentiamo graficamente la situazione:

     

    Esempio regola del parallelogramma

    Esempio di applicazione della regola del parallelogramma.

     

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che ||u|| = 5, ||v|| = 4, θ = 60^o.

    Grazie al teorema di Carnot applicato al triangolo ABD possiamo subito trovare la norma nel vettore u-v.

    beginalign*||u-v|| = √(||u||^2+||v||^2-2||u|| ||v|| cos(θ)) = ; = √(5^2+4^2-2·5·4·cos(60°)) = ; = √(25+16-40·(1)/(2)) = √(25+16-20) = √(21) endalign*

    Allo stesso modo, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABC possiamo ricavare la norma del vettore somma u+v. Ci occorre però l'ampiezza dell'angolo φ. Sapendo che la somma degli angoli interni di un parallelogramma è di 360° e che gli angoli opposti sono a due a due uguali, abbiamo che

    φ = (360°-2θ)/(2) = (360°-120°)/(2) = (240°)/(2) = 120°

    Pertanto

    beginalign*||u+v|| = √(||u||^2+||v||^2-2||u|| ||v|| cos(φ)) = ; = √(5^2+4^2-2·5·4·cos(120°)) = ; = √(25+16-40·(-(1)/(2))) = √(25+16+20) = √(61) endalign*

    Abbiamo così concluso l'esercizio.

    Osserviamo che se l'angolo formato dai due vettori è un angolo retto allora il parallelogramma si riduce ad un rettangolo, le cui diagonali hanno la stessa misura; pertanto la norma del vettore somma uguaglia la norma del vettore differenza e le possiamo ricavare con il teorema di Pitagora.

    Regola del parallelogramma delle forze

    Chi si è già addentrato nello studio della Fisica saprà che la forza è una grandezza vettoriale.

    Ne segue allora che possiamo applicare, senza eccezioni, la regola del parallelogramma anche alle forze, essendo quest'ultime dei semplici vettori.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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