La regola del parallelogramma permette di individuare graficamente la somma o la differenza di due qualsiasi vettori del piano o dello spazio euclideo. Avendo la situazione grafica sotto mano sarà poi un gioco da ragazzi trovare anche direzione, modulo e verso del vettore somma o del vettore differenza.
Dati due vettori
e
dello spazio euclideo esistono due varianti della regola del parallelogramma che permettono di ricavare graficamente il vettore somma
e il vettore differenza
; qui di seguito spiegheremo dapprima i vari passaggi da seguire per poi proporre un'immagine che vi farà cogliere differenze e analogie tra i due metodi.
Prima variante della regola del parallelogramma
- Con una traslazione facciamo in modo che le origini dei due vettori
e
coincidano;
- costruiamo poi un parallelogramma avente come lati i due vettori;
- il vettore somma
sarà la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune;
- il vettore differenza
è invece l'altra diagonale del parallelogramma ed avrà come origine la punta del secondo vettore.
Seconda variante della regola del parallelogramma
- Trasliamo il vettore
in modo che la sua origine coincida con la punta del vettore
;
- disegniamo il parallelogramma avente per lati i vettori
e
;
- il vettore somma
è la diagonale del parallelogramma che unisce l'origine di
con la punta di
- il vettore differenza
corrisponde all'altra diagonale del parallelogramma ed ha la punta coincidente con l'origine del secondo vettore.
Regola del parallelogramma per somma e differenza di vettori.
Come si può osservare nell'immagine precedente, da un punto di vista grafico la differenza tra i due metodi consiste nella scelta della posizione iniziale dei due vettori
e
, ma direzione, modulo e verso dei vettori somma e differenza rimangono inalterati.
La seconda variante della regola del parallelogramma che permette di ricavare la somma tra vettori è detta metodo punta coda.
Regola del parallelogramma: formula
Come abbiamo visto, con la regola del parallelogramma è possibile individuare graficamente la somma e la differenza tra due vettori
e
.
Se poi è nota anche l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori si può determinare anche l'intensità del vettore somma e del vettore differenza ricorrendo al teorema di Carnot.
Senza dilungarci in noiose e lunghe spiegazioni teoriche vediamone un esempio.
Esempio sulla regola del parallelogramma
Siano
e
due vettori aventi l'origine in comune e tali da formare un angolo di 60°; supponiamo che
abbia norma 5 e che la norma di
sia uguale a 4. Determinare la norma del vettore somma
e del vettore differenza
.
Svolgimento: innanzitutto rappresentiamo graficamente la situazione:
Esempio di applicazione della regola del parallelogramma.
Dai dati forniti dal problema sappiamo che
.
Grazie al teorema di Carnot applicato al triangolo ABD possiamo subito trovare la norma nel vettore
.
Allo stesso modo, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABC possiamo ricavare la norma del vettore somma
. Ci occorre però l'ampiezza dell'angolo
. Sapendo che la somma degli angoli interni di un parallelogramma è di 360° e che gli angoli opposti sono a due a due uguali, abbiamo che
Pertanto
Abbiamo così concluso l'esercizio.
Osserviamo che se l'angolo formato dai due vettori è un angolo retto allora il parallelogramma si riduce ad un rettangolo, le cui diagonali hanno la stessa misura; pertanto la norma del vettore somma uguaglia la norma del vettore differenza e le possiamo ricavare con il teorema di Pitagora.
Regola del parallelogramma delle forze
Chi si è già addentrato nello studio della Fisica saprà che la forza è una grandezza vettoriale.
Ne segue allora che possiamo applicare, senza eccezioni, la regola del parallelogramma anche alle forze, essendo quest'ultime dei semplici vettori.
***
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