Soluzioni
  • La regola del parallelogramma permette di individuare graficamente la somma o la differenza di due qualsiasi vettori del piano o dello spazio euclideo. Avendo la situazione grafica sotto mano sarà poi un gioco da ragazzi trovare anche direzione, modulo e verso del vettore somma o del vettore differenza.

    Dati due vettori \vec{u} e \vec{v} dello spazio euclideo esistono due varianti della regola del parallelogramma che permettono di ricavare graficamente il vettore somma \vec{u}+\vec{v} e il vettore differenza \vec{u}-\vec{v}; qui di seguito spiegheremo dapprima i vari passaggi da seguire per poi proporre un'immagine che vi farà cogliere differenze e analogie tra i due metodi.

    Prima variante della regola del parallelogramma

    - Con una traslazione facciamo in modo che le origini dei due vettori \vec{u} e \vec{v} coincidano;

    - costruiamo poi un parallelogramma avente come lati i due vettori;

    - il vettore somma \vec{u}+\vec{v} sarà la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune;

    - il vettore differenza \vec{u}-\vec{v} è invece l'altra diagonale del parallelogramma ed avrà come origine la punta del secondo vettore.

    Seconda variante della regola del parallelogramma

    - Trasliamo il vettore \vec{v} in modo che la sua origine coincida con la punta del vettore \vec{u};

    - disegniamo il parallelogramma avente per lati i vettori \vec{u} e \vec{v};

    - il vettore somma \vec{u}+\vec{v} è la diagonale del parallelogramma che unisce l'origine di \vec{u} con la punta di \vec{v}

    - il vettore differenza \vec{u}-\vec{v} corrisponde all'altra diagonale del parallelogramma ed ha la punta coincidente con l'origine del secondo vettore.

    Regola del parallelogramma

    Come si può osservare nell'immagine precedente, da un punto di vista grafico la differenza tra i due metodi consiste nella scelta della posizione iniziale dei due vettori \vec{u} e \vec{v}, ma direzione, modulo e verso dei vettori somma e differenza rimangono inalterati.

    La seconda variante della regola del parallelogramma che permette di ricavare la somma tra vettori è detta metodo punta coda.

    Regola del parallelogramma: formula

    Come abbiamo visto, con la regola del parallelogramma è possibile individuare graficamente la somma e la differenza tra due vettori \vec{u} e \vec{v}.

    Se poi è nota anche l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori si può determinare anche l'intensità del vettore somma e del vettore differenza ricorrendo al teorema di Carnot.

    Senza dilungarci in noiose e lunghe spiegazioni teoriche vediamone un esempio.

    Esempio sulla regola del parallelogramma

    Siano \vec{u} e \vec{v} due vettori aventi l'origine in comune e tali da formare un angolo di 60°; supponiamo che \vec{u} abbia norma 5 e che la norma di \vec{v} sia uguale a 4. Determinare la norma del vettore somma \vec{u}+\vec{v} e del vettore differenza \vec{u}-\vec{v}.

    Svolgimento: innanzitutto rappresentiamo graficamente la situazione:

    Esempio regola del parallelogramma

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che ||\vec{u}||=5,\ ||\vec{v}||=4,\ \theta=60^o.

    Grazie al teorema di Carnot applicato al triangolo ABD possiamo subito trovare la norma nel vettore \vec{u}-\vec{v}.

    \begin{align*}||\vec{u}-\vec{v}||&=\sqrt{||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos(\theta)} = \\ \\ & = \sqrt{5^2+4^2-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60^{\circ})} = \\ \\ & = \sqrt{25+16-40\cdot \frac{1}{2}}= \sqrt{25+16-20}=\sqrt{21}\end{align*}

    Allo stesso modo, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABC possiamo ricavare la norma del vettore somma \vec{u}+\vec{v}. Ci occorre però l'ampiezza dell'angolo \phi. Sapendo che la somma degli angoli interni di un parallelogramma è di 360° e che gli angoli opposti sono a due a due uguali, abbiamo che

    \phi=\frac{360^{\circ}-2\theta}{2}=\frac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{240^{\circ}}{2}=120^{\circ}

    Pertanto

    \begin{align*}||\vec{u}+\vec{v}||&=\sqrt{||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos(\phi)} = \\ \\ & = \sqrt{5^2+4^2-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(120^{\circ})} = \\ \\ & = \sqrt{25+16-40\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}= \sqrt{25+16+20}=\sqrt{61}\end{align*}

    Abbiamo così concluso l'esercizio.

    Osserviamo che se l'angolo formato dai due vettori è un angolo retto allora il parallelogramma si riduce ad un rettangolo, le cui diagonali hanno la stessa misura; pertanto la norma del vettore somma uguaglia la norma del vettore differenza e le possiamo ricavare con il teorema di Pitagora.

    Regola del parallelogramma delle forze

    Chi si è già addentrato nello studio della Fisica saprà che la forza è una grandezza vettoriale.

    Ne segue allora che possiamo applicare, senza eccezioni, la regola del parallelogramma anche alle forze, essendo quest'ultime dei semplici vettori.

    ***

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    Risposta di Galois
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