Regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma permette di individuare graficamente la somma o la differenza di due qualsiasi vettori del piano o dello spazio euclideo. Avendo la situazione grafica sotto mano sarà poi un gioco da ragazzi trovare anche direzione, modulo e verso del vettore somma o del vettore differenza.

Dati due vettori e dello spazio euclideo esistono due varianti della regola del parallelogramma che permettono di ricavare graficamente il vettore somma e il vettore differenza ; qui di seguito spiegheremo dapprima i vari passaggi da seguire per poi proporre un'immagine che vi farà cogliere differenze e analogie tra i due metodi.

Prima variante della regola del parallelogramma

- Con una traslazione facciamo in modo che le origini dei due vettori e coincidano;

- costruiamo poi un parallelogramma avente come lati i due vettori;

- il vettore somma sarà la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune;

- il vettore differenza è invece l'altra diagonale del parallelogramma ed avrà come origine la punta del secondo vettore.

Seconda variante della regola del parallelogramma

- Trasliamo il vettore in modo che la sua origine coincida con la punta del vettore ;

- disegniamo il parallelogramma avente per lati i vettori e ;

- il vettore somma è la diagonale del parallelogramma che unisce l'origine di con la punta di

- il vettore differenza corrisponde all'altra diagonale del parallelogramma ed ha la punta coincidente con l'origine del secondo vettore.

Regola del parallelogramma per somma e differenza di vettori.

Come si può osservare nell'immagine precedente, da un punto di vista grafico la differenza tra i due metodi consiste nella scelta della posizione iniziale dei due vettori e , ma direzione, modulo e verso dei vettori somma e differenza rimangono inalterati.

La seconda variante della regola del parallelogramma che permette di ricavare la somma tra vettori è detta metodo punta coda.

Regola del parallelogramma: formula

Come abbiamo visto, con la regola del parallelogramma è possibile individuare graficamente la somma e la differenza tra due vettori e .

Se poi è nota anche l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori si può determinare anche l'intensità del vettore somma e del vettore differenza ricorrendo al teorema di Carnot.

Senza dilungarci in noiose e lunghe spiegazioni teoriche vediamone un esempio.

Esempio sulla regola del parallelogramma

Siano e due vettori aventi l'origine in comune e tali da formare un angolo di 60°; supponiamo che abbia norma 5 e che la norma di sia uguale a 4. Determinare la norma del vettore somma e del vettore differenza .

Svolgimento: innanzitutto rappresentiamo graficamente la situazione:

Esempio di applicazione della regola del parallelogramma.

Dai dati forniti dal problema sappiamo che .

Grazie al teorema di Carnot applicato al triangolo ABD possiamo subito trovare la norma nel vettore .

Allo stesso modo, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABC possiamo ricavare la norma del vettore somma . Ci occorre però l'ampiezza dell'angolo . Sapendo che la somma degli angoli interni di un parallelogramma è di 360° e che gli angoli opposti sono a due a due uguali, abbiamo che

Pertanto

Abbiamo così concluso l'esercizio.

Osserviamo che se l'angolo formato dai due vettori è un angolo retto allora il parallelogramma si riduce ad un rettangolo, le cui diagonali hanno la stessa misura; pertanto la norma del vettore somma uguaglia la norma del vettore differenza e le possiamo ricavare con il teorema di Pitagora.

Regola del parallelogramma delle forze

Chi si è già addentrato nello studio della Fisica saprà che la forza è una grandezza vettoriale.

Ne segue allora che possiamo applicare, senza eccezioni, la regola del parallelogramma anche alle forze, essendo quest'ultime dei semplici vettori.

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