Soluzioni
  • La regola del parallelogramma permette di individuare graficamente la somma o la differenza di due qualsiasi vettori del piano o dello spazio euclideo. Avendo la situazione grafica sotto mano sarà poi un gioco da ragazzi trovare anche direzione, modulo e verso del vettore somma o del vettore differenza.

    Dati due vettori \vec{u} e \vec{v} dello spazio euclideo esistono due varianti della regola del parallelogramma che permettono di ricavare graficamente il vettore somma \vec{u}+\vec{v} e il vettore differenza \vec{u}-\vec{v}; qui di seguito spiegheremo dapprima i vari passaggi da seguire per poi proporre un'immagine che vi farà cogliere differenze e analogie tra i due metodi.

    Prima variante della regola del parallelogramma

    - Con una traslazione facciamo in modo che le origini dei due vettori \vec{u} e \vec{v} coincidano;

    - costruiamo poi un parallelogramma avente come lati i due vettori;

    - il vettore somma \vec{u}+\vec{v} sarà la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune;

    - il vettore differenza \vec{u}-\vec{v} è invece l'altra diagonale del parallelogramma ed avrà come origine la punta del secondo vettore.

    Seconda variante della regola del parallelogramma

    - Trasliamo il vettore \vec{v} in modo che la sua origine coincida con la punta del vettore \vec{u};

    - disegniamo il parallelogramma avente per lati i vettori \vec{u} e \vec{v};

    - il vettore somma \vec{u}+\vec{v} è la diagonale del parallelogramma che unisce l'origine di \vec{u} con la punta di \vec{v}

    - il vettore differenza \vec{u}-\vec{v} corrisponde all'altra diagonale del parallelogramma ed ha la punta coincidente con l'origine del secondo vettore.

     

    Regola del parallelogramma

    Regola del parallelogramma per somma e differenza di vettori.

     

    Come si può osservare nell'immagine precedente, da un punto di vista grafico la differenza tra i due metodi consiste nella scelta della posizione iniziale dei due vettori \vec{u} e \vec{v}, ma direzione, modulo e verso dei vettori somma e differenza rimangono inalterati.

    La seconda variante della regola del parallelogramma che permette di ricavare la somma tra vettori è detta metodo punta coda.

    Regola del parallelogramma: formula

    Come abbiamo visto, con la regola del parallelogramma è possibile individuare graficamente la somma e la differenza tra due vettori \vec{u} e \vec{v}.

    Se poi è nota anche l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori si può determinare anche l'intensità del vettore somma e del vettore differenza ricorrendo al teorema di Carnot.

    Senza dilungarci in noiose e lunghe spiegazioni teoriche vediamone un esempio.

    Esempio sulla regola del parallelogramma

    Siano \vec{u} e \vec{v} due vettori aventi l'origine in comune e tali da formare un angolo di 60°; supponiamo che \vec{u} abbia norma 5 e che la norma di \vec{v} sia uguale a 4. Determinare la norma del vettore somma \vec{u}+\vec{v} e del vettore differenza \vec{u}-\vec{v}.

    Svolgimento: innanzitutto rappresentiamo graficamente la situazione:

     

    Esempio regola del parallelogramma

    Esempio di applicazione della regola del parallelogramma.

     

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che ||\vec{u}||=5,\ ||\vec{v}||=4,\ \theta=60^o.

    Grazie al teorema di Carnot applicato al triangolo ABD possiamo subito trovare la norma nel vettore \vec{u}-\vec{v}.

    \begin{align*}||\vec{u}-\vec{v}||&=\sqrt{||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos(\theta)} = \\ \\ & = \sqrt{5^2+4^2-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60^{\circ})} = \\ \\ & = \sqrt{25+16-40\cdot \frac{1}{2}}= \sqrt{25+16-20}=\sqrt{21}\end{align*}

    Allo stesso modo, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABC possiamo ricavare la norma del vettore somma \vec{u}+\vec{v}. Ci occorre però l'ampiezza dell'angolo \phi. Sapendo che la somma degli angoli interni di un parallelogramma è di 360° e che gli angoli opposti sono a due a due uguali, abbiamo che

    \phi=\frac{360^{\circ}-2\theta}{2}=\frac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{240^{\circ}}{2}=120^{\circ}

    Pertanto

    \begin{align*}||\vec{u}+\vec{v}||&=\sqrt{||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \cos(\phi)} = \\ \\ & = \sqrt{5^2+4^2-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(120^{\circ})} = \\ \\ & = \sqrt{25+16-40\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}= \sqrt{25+16+20}=\sqrt{61}\end{align*}

    Abbiamo così concluso l'esercizio.

    Osserviamo che se l'angolo formato dai due vettori è un angolo retto allora il parallelogramma si riduce ad un rettangolo, le cui diagonali hanno la stessa misura; pertanto la norma del vettore somma uguaglia la norma del vettore differenza e le possiamo ricavare con il teorema di Pitagora.

    Regola del parallelogramma delle forze

    Chi si è già addentrato nello studio della Fisica saprà che la forza è una grandezza vettoriale.

    Ne segue allora che possiamo applicare, senza eccezioni, la regola del parallelogramma anche alle forze, essendo quest'ultime dei semplici vettori.

    ***

    - Se sei alla ricerca di esercizi sulla regola del parallelogramma puoi utilizzare la barra di ricerca interna (in alto a destra in ogni pagina);

    - se invece ti occorre un ripasso sulle operazioni tra vettori - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Fisica