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  • Per fornire una risposta abbiamo bisogno di alcune definizioni preliminari e dell'enunciato di un teorema.

    Definizione di forma differenziale esatta

    Sia E un insieme aperto connesso di \mathbb{R}^{2}, e siano

    A:E\to \mathbb{R} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B:E\to\mathbb{R}

    due funzioni scalari continue in E. La forma differenziale

    \omega=A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy

    si dice esatta su E se esiste una funzione scalare U:E\to\mathbb{R} di classe C^{2}(E), detta funzione potenziale o primitiva, le cui derivate parziali coincidono con le componenti di \omega. Più precisamente:

    - la derivata parziale rispetto a x di U(x,y) uguaglia la prima componente di \omega

    \frac{\partial}{\partial x}[U(x,y)]=A(x,y) \ \ \ \forall (x,y)\in E

    - la derivata parziale rispetto a y di U(x,y) uguaglia la seconda componente di \omega

    \frac{\partial}{\partial y}[U(x,y)]=B(x,y) \ \ \ \forall (x,y)\in E

    Definizione di forma differenziale chiusa

    Sia E un insieme aperto di \mathbb{R}^{2} e siano

    A:E\to\mathbb{R} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B: E\to\mathbb{R}

    due funzioni scalari di classe C^{1}(E). Diremo che la forma differenziale

    \omega=A(x,y)\,dx +B(x,y)\,dy

    è chiusa se e solo se coincidono puntualmente le derivate incrociate di A\ \mbox{e} \ B

    \frac{\partial}{\partial y}[A(x,y)]=\frac{\partial}{\partial x}[B(x,y)] \ \ \ \forall (x,y)\in E

    Prima di continuare prendiamoci il tempo di esaminare le due definizioni.

    Nella prima E è un insieme aperto e connesso, e le funzioni A\ \mbox{e} \ B sono continue su E.

    Nella seconda definizione si richiede invece che E sia solo un aperto, mentre si rafforzano le pretese sulle funzioni A \ \mbox{e} \ B: devono essere derivabili con continuità su E rispetto a entrambe le variabili.

    Riportiamo l'enunciato del teorema che costituisce il primo importante legame tra le nozioni di chiusura e di esattezza.

    Condizione necessaria per l'esattezza

    Siano E un aperto di \mathbb{R}^{2} e \omega una forma differenziale di classe C^{1}(E). Se \omega è esatta su E, allora è chiusa su E.

    Questo enunciato assicura che non possono esistere forme differenziali esatte che non siano chiuse e va usato al negativo: se una forma non è chiusa, allora non è esatta.

    Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza su insiemi semplicemente connessi

    Il secondo risultato fondamentale delle forme differenziali fornisce la condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza.

    Sia E un insieme aperto semplicemente connesso di \mathbb{R}^{2} e siano

    A: E\to \mathbb{R} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B:E\to\mathbb{R}

    funzioni derivabili con continuità su E. Allora la forma differenziale

    \omega=A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy

    è esatta in E se e solo se è chiusa in E.

    In altri termini, il teorema stabilisce che l'esattezza e la chiusura di una forma differenziale sono logicamente equivalenti, se l'insieme su cui è definita la forma possiede una caratteristica topologica ben precisa: dev'essere semplicemente connesso.

    Senza entrare troppo nei tecnicismi, ricordiamo che un insieme E di \mathbb{R}^{2} è semplicemente connesso se e solo se è fatto di un solo pezzo e non ha buchi.

    Se viene meno la semplice connessione dell'insieme E, il teorema non può essere sfruttato e la chiusura, da sola, non basta a garantire l'esattezza.

    Esempio: forma differenziale chiusa ma non esatta

    La forma differenziale

    \omega=-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy

    è di classe C^{+\infty} nell'insieme E=\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}, il quale è connesso, ma non semplicemente connesso perché (0,0) è escluso: è a tutti gli effetti un buco del piano: il teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza non può essere usato perché viene meno l'ipotesi topologica.

    Indichiamo con A(x,y) la prima componente e con B(x,y) la seconda componente di \omega

    A(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}

    e riportiamo le derivate parziali \frac{\partial}{\partial y}[A(x,y)] \ \mbox{e} \ \frac{\partial}{\partial x}[B(x,y)]

    \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}[A(x,y)]=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial x}[B(x,y)]=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}

    Evidentemente le derivate parziali miste sono uguali per ogni punto (x,y)\in E, pertanto \omega è una forma differenziale chiusa.

    Tuttavia \omega non è esatta; per vederlo basta determinare una curva regolare e chiusa \gamma, interamente contenuta in E, e tale per cui l'integrale di \omega su \gamma sia diverso da zero (è il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte).

    Consideriamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1

    \gamma(t)=(\cos(t),\, \sin(t)) \ \ \ \mbox{con} \ t\in[0,2\pi]

     e calcoliamo l'integrale della forma differenziale

    \int_{\gamma}\omega=\int_{0}^{2\pi}[\sin^2(t)+\cos^2(t)]\,dt=2\pi

    Poiché l'integrale è diverso da zero, \omega non è esatta.

    Esempio: forma differenziale chiusa ed esatta

    Riportiamo un esempio di forma differenziale chiusa ed esatta su un insieme che non è semplicemente connesso.

    Consideriamo la forma differenziale

    \omega=\frac{2x}{x^2+y^2}\,dx+\frac{2y}{x^2+y^2}\,dy

    definita sull'insieme E=\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}, e indichiamo con A(x,y)\ \mbox{e} \ B(x,y) rispettivamente la prima e la seconda componente di \omega

    A(x,y)=\frac{2x}{x^2+y^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}

    Si dimostra abbastanza agilmente che \omega è chiusa su E, infatti le derivate miste valgono rispettivamente

    \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}[A(x,y)]=-\frac{4x y}{(x^2+y^2)^2} \\ \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial x}[B(x,y)]=-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^2}

    Evidentemente coincidono per ogni (x,y)\in\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}.

    Attenzione! E=\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} non è un insieme semplicemente connesso! Viene quindi meno la condizione topologica che garantisce l'equivalenza logica tra l'esattezza e la chiusura.

    D'altra parte la funzione scalare U(x,y)=\ln(x^2+y^2) è una primitiva di \omega, infatti:

    \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial x}[U(x,y)]=\frac{2x}{x^2+y^2}= A(x,y)\\ \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}[U(x,y)]=\frac{2y}{x^2+y^2}=B(x,y)

    Segue dalla definizione stessa che \omega è esatta!

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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