Forma differenziale chiusa su R^2-{0} è esatta?

Autore: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit) -
Ultimo aggiornamento:

Volevo sapere se una forma differenziale chiusa, definita su R^(2) escluso l'origine, è sempre non esatta, oppure no. Ho l'impressione di non aver compreso bene questa parte della teoria delle forme differenziali esatte. Potreste aiutarmi, per favore?

Soluzione

Per fornire una risposta abbiamo bisogno di alcune definizioni preliminari e dell'enunciato di un teorema.

Definizione di forma differenziale esatta

Sia E un insieme aperto connesso di R^(2), e siano

A:E → R e B:E → R

due funzioni scalari continue in E. La forma differenziale

ω = A(x,y) ,dx+B(x,y) ,dy

si dice esatta su E se esiste una funzione scalare U:E → R di classe C^(2)(E), detta funzione potenziale o primitiva, le cui derivate parziali coincidono con le componenti di ω. Più precisamente:

- la derivata parziale rispetto a x di U(x,y) uguaglia la prima componente di ω

(partial)/(partial x)[U(x,y)] = A(x,y) ∀ (x,y)∈ E

- la derivata parziale rispetto a y di U(x,y) uguaglia la seconda componente di ω

(partial)/(partial y)[U(x,y)] = B(x,y) ∀ (x,y)∈ E

Definizione di forma differenziale chiusa

Sia E un insieme aperto di R^(2) e siano

A:E → R e B: E → R

due funzioni scalari di classe C^(1)(E). Diremo che la forma differenziale

ω = A(x,y) ,dx+B(x,y) ,dy

è chiusa se e solo se coincidono puntualmente le derivate incrociate di A e B

(partial)/(partial y)[A(x,y)] = (partial)/(partial x)[B(x,y)] ∀ (x,y)∈ E

Prima di continuare prendiamoci il tempo di esaminare le due definizioni.

Nella prima E è un insieme aperto e connesso, e le funzioni A e B sono continue su E.

Nella seconda definizione si richiede invece che E sia solo un aperto, mentre si rafforzano le pretese sulle funzioni A e B: devono essere derivabili con continuità su E rispetto a entrambe le variabili.

Riportiamo l'enunciato del teorema che costituisce il primo importante legame tra le nozioni di chiusura e di esattezza.

Condizione necessaria per l'esattezza

Siano E un aperto di R^(2) e ω una forma differenziale di classe C^(1)(E). Se ω è esatta su E, allora è chiusa su E.

Questo enunciato assicura che non possono esistere forme differenziali esatte che non siano chiuse e va usato al negativo: se una forma non è chiusa, allora non è esatta.

Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza su insiemi semplicemente connessi

Il secondo risultato fondamentale delle forme differenziali fornisce la condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza.

Sia E un insieme aperto semplicemente connesso di R^(2) e siano

A: E → R e B:E → R

funzioni derivabili con continuità su E. Allora la forma differenziale

ω = A(x,y) ,dx+B(x,y) ,dy

è esatta in E se e solo se è chiusa in E.

In altri termini, il teorema stabilisce che l'esattezza e la chiusura di una forma differenziale sono logicamente equivalenti, se l'insieme su cui è definita la forma possiede una caratteristica topologica ben precisa: dev'essere semplicemente connesso.

Senza entrare troppo nei tecnicismi, ricordiamo che un insieme E di R^(2) è semplicemente connesso se e solo se è fatto di un solo pezzo e non ha buchi.

Se viene meno la semplice connessione dell'insieme E, il teorema non può essere sfruttato e la chiusura, da sola, non basta a garantire l'esattezza.

Esempio: forma differenziale chiusa ma non esatta

La forma differenziale

ω = −(y)/(x^2+y^2) ,dx+(x)/(x^2+y^2) ,dy

è di classe C^(+∞) nell'insieme E = R^(2)−(0,0), il quale è connesso, ma non semplicemente connesso perché (0,0) è escluso: è a tutti gli effetti un buco del piano: il teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza non può essere usato perché viene meno l'ipotesi topologica.

Indichiamo con A(x,y) la prima componente e con B(x,y) la seconda componente di ω

A(x,y) = −(y)/(x^2+y^2) e B(x,y) = (x)/(x^2+y^2)

e riportiamo le derivate parziali (partial)/(partial y)[A(x,y)] e (partial)/(partial x)[B(x,y)]

• (partial)/(partial y)[A(x,y)] = (−x^2+y^2)/((x^2+y^2)^2) ; • (partial)/(partial x)[B(x,y)] = (−x^2+y^2)/((x^2+y^2)^2)

Evidentemente le derivate parziali miste sono uguali per ogni punto (x,y)∈ E, pertanto ω è una forma differenziale chiusa.

Tuttavia ω non è esatta; per vederlo basta determinare una curva regolare e chiusa γ, interamente contenuta in E, e tale per cui l'integrale di ω su γ sia diverso da zero (è il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte).

Consideriamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1

γ(t) = (cos(t), , sin(t)) con t∈[0,2π]

 e calcoliamo l'integrale della forma differenziale

∫_(γ)ω = ∫_(0)^(2π)[sin^2(t)+cos^2(t)] ,dt = 2π

Poiché l'integrale è diverso da zero, ω non è esatta.

Esempio: forma differenziale chiusa ed esatta

Riportiamo un esempio di forma differenziale chiusa ed esatta su un insieme che non è semplicemente connesso.

Consideriamo la forma differenziale

ω = (2x)/(x^2+y^2) ,dx+(2y)/(x^2+y^2) ,dy

definita sull'insieme E = R^(2)−(0,0), e indichiamo con A(x,y) e B(x,y) rispettivamente la prima e la seconda componente di ω

A(x,y) = (2x)/(x^2+y^2) e B(x,y) = (2y)/(x^2+y^2)

Si dimostra abbastanza agilmente che ω è chiusa su E, infatti le derivate miste valgono rispettivamente

• (partial)/(partial y)[A(x,y)] = −(4x y)/((x^2+y^2)^2) ; • (partial)/(partial x)[B(x,y)] = −(4xy)/((x^2+y^2)^2)

Evidentemente coincidono per ogni (x,y)∈R^(2)−(0,0).

Attenzione! E = R^(2)−(0,0) non è un insieme semplicemente connesso! Viene quindi meno la condizione topologica che garantisce l'equivalenza logica tra l'esattezza e la chiusura.

D'altra parte la funzione scalare U(x,y) = ln(x^2+y^2) è una primitiva di ω, infatti:

• (partial)/(partial x)[U(x,y)] = (2x)/(x^2+y^2) = A(x,y) ; • (partial)/(partial y)[U(x,y)] = (2y)/(x^2+y^2) = B(x,y)

Segue dalla definizione stessa che ω è esatta!

Abbiamo finito.

Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica
Esercizi simili e domande correlate